Sesión AnálisisOperadores de variación asociados a semigrupos generados por operadores de Hardy
Pablo Quijano
IMAL (UNL - CONICET), Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
Consideramos $\{W_{\lambda, t}^\alpha\}_{t \gt 0}$, el semigrupo generado por $-\mathbb L^{\alpha}_\lambda$, donde $\mathbb L^{\alpha}_\lambda$ es un operador de Hardy en el semiespacio. El operador $\mathbb L^{\alpha}_\lambda$ involucra un laplaciano fraccionario y está definido como \[\mathbb L^{\alpha}_\lambda=(-\Delta)^{\alpha/2}_{\mathbb R^d_+}+\lambda x_d^{-\alpha}, \quad \alpha\in (0,2], \lambda\geq 0.\]
Para $\rho \gt 0$ y $\{a_t\}_{t \gt 0}$ un conjunto de números complejos, se define el operador de $\rho$-variación $\mathcal V\left(\{a_t\}_{t \gt 0}\right)$ como \[\mathcal V_\rho\left(\{a_t\}_{t \gt 0}\right)=\sup_{\{t_i\}_{i=1}^n,\ n\in \mathbb N} \left(\sum_{j=0}^{n-1}\left|a_{t_{j+1}}-a_{t_j}\right|^\rho\right)^{1/\rho},\] siendo $\{t_i\}_{i=1}^n$ una sucesión creciente de números positivos.
Además, si para algún $p\in (1,\infty)$, $T_t$ es un operador acotado en $L^p(\Omega,\mu)$ para todo $t \gt 0$, siendo $(\Omega,\mu)$ un espacio de medida, el operador de variación $\mathcal V_\rho\left(\{T_t\}_{t \gt 0}\right)$ se define como \[\mathcal V_\rho\left(\{T_t\}_{t \gt 0}\right)(f)(x)=\mathcal V\left(\{T_t(f)(x)\}_{t \gt 0}\right), \quad f\in L^p(\Omega,\mu).\]
Mostraremos que es posible probar que para $k\in \mathbb N$, el operador de $\rho$-variación $\mathcal{V}_\rho\left(\left\{t^k\partial_t^k W_{\lambda,t}^\alpha\right\}\right)$ es acotado en $L^p(\mathbb R^d_+, w)$ para todo $ p\in (1,\infty) $ y $w\in A_p(\mathbb R^d_+)$, siendo $A_p(\mathbb R^d_+)$ la $p$-clase de pesos de Muckenhoupt en $\mathbb R^d_+$.
Trabajo en conjunto con: Jorge J. Betancor (Universidad de La Laguna, España). y Estefanía Dalmasso (IMAL (UNL - CONICET), FIQ(UNL))..