Sesión AnálisisUn teorema ergódico para la media de Karcher en dimensión infinita
Eduardo Ghiglioni
IAM - CMaLP, Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
Sea $\mathcal{H}$ un espacio de Hilbert infinito dimensional. En este contexto la métrica natural en $\mathbb{P}$ (operadores positivos), es una métrica de Finsler donde la longitud de una curva suave a trozos $\alpha:[a,b]\to \mathbb{P}$, y $A,B\in\mathbb{P}$, está definida como $$ \mbox{L}(\alpha):=\int_a^b \|\alpha^{-1/2}(t)\alpha'(t)\alpha^{-1/2}(t)\|\ \, dt. $$ Usando esta definición de longitud, se puede definir la siguiente distancia $$ d_\infty(A,B)=\inf\{\mbox{L}(\alpha):\ \mbox{$\alpha$ es una curva suave a trozos que une $A$ con $B$}\}. $$ Recientemente se extendió la media de Karcher al caso de medidas de probabilidad de operadores positivos en un espacio de Hilbert infinito dimensional. Más presisamente, dada $\mu\in\mathcal{P}^1(\mathbb{P})$, la ecuación de Karcher $$ \int_{\mathbb{P}}X^{1/2}\log(X^{-1/2}AX^{-1/2})X^{1/2}d\mu(A)=0, $$ tiene una única solución definida positiva $\Lambda(\mu)$. Llamaremos a dicho solución como la media de Karcher. En esta charla consideraremos un espacio de probabilidad $(\Omega,\mu)$ y una función totalmente ergódica $\tau:\Omega\to\Omega$. Nuestro objetivo es estudiar un nuevo teorema ergodico para funciones $ F\in L^1(\Omega,\mathbb{P})$, donde $\mathbb{P}$ es el cono abierto de operadores estrictamente positivos actuando en un espacio de Hilbert (separable). En este resultado, usaremos las medias inductivas para promediar los elementos de la órbita. A partir de estas medias probaremos que casi seguro estos promedios convergen a la media de Karcher de la medida $F_*(\mu)$.
Trabajo en conjunto con: Jorge Antezana (Departamento de Matemática de la Universidad Autónoma de Madrid, España - UNLP, Argentina - IAM, Argentina), Yongdo Lim (Department of Mathematics, Sungkyunkwan University, Suwon, Korea), Miklós Pálfia (Department of Mathematics, Corvinus University of Budapest, Hungary - Bolyai Institute, Interdisciplinary Excellence Centre, University of y Szeged, Hungary).