Sesión AnálisisAnálisis de ciertos espacios de oscilación media acotada
René Morari
Universidad Nacional Comahue, Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
Los espacios de Nakai, denotados por $\textrm{bmo}_w$, contienen funciones tales que su oscilación media en una bola está acotada por una función $w$ que depende del radio y también del centro de la misma ([2]). Dichos espacios son de gran utilidad en el estudio de estimaciones de operadores del análisis armónico.
En esta dirección, consideramos una función $w: \mathbb{R}^n \times [0,\infty) \to [0,\infty)$ dada por $ w(x,t)= t^{\alpha-n} \lVert\chi_{B(x,t)} \rVert_{\phi^*_{p(\cdot),q(\cdot)}} $, con $0 \lt \alpha \lt n$, donde $\lVert \cdot \rVert_{\phi^*_{p(\cdot),q(\cdot)}}$ es la norma de Luxemburg en el espacio de Zygmund generalizado asociado a la conjugada de $\phi_{p(\cdot), q(\cdot)}(x,t) = t^{p(x)} \log(\operatorname{e} + t )^{q(x)} $. Las funciones $ p(\cdot)$ y $q(\cdot) $ son definidas en $\mathbb{R}^n$, positivas y medibles con ciertas condiciones de decaimiento estándar en la bibliografía ([1]).
Entonces, para $w$ definida como antes se demostraron las siguientes propiedades
\[\begin{aligned} w(x,t) &\leq C w(x,s), \hspace{1cm} \forall x \in \mathbb{R}^n \, , \, \forall t \lt s \,;\\ w(x,2t) &\leq C w(x,t), \hspace{1cm} \forall x \in \mathbb{R}^n \, , \, \forall t \gt 0 \,; \\ |x-y| \lt t \Rightarrow w(x,t) &\leq Cw(y,t), \hspace{1cm} \forall x,y \in \mathbb{R}^n \, , \, \forall t \gt 0 \,. \end{aligned}\]
Además, se probó que existe una constante $C \gt 0$ tal que \[ \int_{r}^\infty \frac{w_\alpha(x,t)}{t}\frac{dt}{t} \leq C \frac{w_\alpha(x,r)}{r}\,,\] para todo $x \in \mathbb{R}^n$ y $ r \gt 0 $, donde $w_\alpha (x,t) = t^{\alpha}w(x,t)$.
Con estas propiedades y aplicando un resultado visto en [2] tenemos un resultado de acotación para una extensión del operador Integral Fraccionaria $I_{\alpha}$ en este contexto.
Trabajo en conjunto con: Trabajo en conjunto con ALEJANDRA PERINI (UNIVERSIDAD NACIONAL DEL COMAHUE) y MAURICIO RAMSEYER (IMAL (UNL-CONICET)).
Referencias
[1] Melchiori, L., Pradolini, G. and Ramos, W. ``Commutators of po- tential type operators with Lipschitz symbols on variable Lebesgue spaces with different weights''. {\em preprint arXiv:1907.05946} (2019).
[2] Ramseyer, M., Salinas, O. and Viviani, B. ``Fractional integrals and Riesz transforms acting on certain Lipschitz spaces''. Michigan Mathematical Journal, 65(1), 35--56. (2016).