Sesión Análisis Numérico y OptimizaciónUna Formulación Mixta para el Problema de Poisson Fraccionario
Nahuel de León
Universidad de la República, Uruguay - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
La formulación mixta del problema de Poisson clásico consiste en introducir un flujo como nueva variable con condiciones de borde adecuadas, obteniendo un sistema de ecuaciones acopladas. Sea $\Omega \subset \mathbb{R}^d$ un abierto acotado y Lispchitz. Consideramos el problema de Poisson fraccionario en $\Omega$, i.e., \[ (-\Delta)^s u = f & \quad \mbox{ in } \Omega, \] \[ u = 0 & \quad \mbox{ in } \Omega^c := \mathbb{R}^d \setminus \Omega , \] con $s\in(0,1)$, $f\in L^2(\Omega) y $(-\Delta)^s denota el Laplaciano fraccionario \[ (-\Delta)^s u (x) := C(d,s) \mbox{ p.v.} \int_{\mathbb{R}^d} \frac{u(x)-u(y)}{|x-y|^{d+2s}} dy, \quad x \in \mathbb{R}^d, \] con \[ C(d,s) := \frac{2^{2s} s \Gamma(s+\frac{d}2)}{\pi^{d/2} \Gamma(1-s)}. \] Usando identidades del cálculo no local, el Laplaciano fraccionario se puede entender como la composición de ciertos operadores no locales. Concretamente [1] \[ (-\Delta)^s = div^s\circ\nabla^s, \] donde \[ \nabla^s w (x) :=\mu(d,s) \int_{\mathbb{R}^d} \frac{(w(y)-w(x))}{|x-y|^{d+s}} \, \frac{(y-x)}{|x-y|} dy \] y \[ div^s w (x) :=\mu(d,s) \int_{\mathbb{R}^d} \frac{(w(y)-w(x))}{|x-y|^{d+s}} \cdot \frac{(y-x)}{|x-y|} dy. \] En este trabajo, introduciendo el flujo $\varPhi := \nabla^s u$, exploramos una formulación mixta del problema de Poisson fraccionario y probamos que el problema está bien planteado. Una discretización directa del problema no parece posible, por lo que siguiendo ideas de Hughes y Masud [2] introducimos una formulación estabilizada, que da lugar a un problema coercivo y bien planteado. La coercividad implica que cualquier discretización por elementos finitos conforme sea estable. Por último, obtenemos estimaciones del orden de convergencia de estas discretizaciones y realizamos experimentos numéricos en 1d y 2d.
Trabajo en conjunto con: Juan Pablo Borthagaray(Universidad de la República, Uruguay).
Referencias
[1] M. ˇSilhav`y. Fractional vector analysis based on invariance requirements (critique of coordinate approaches). Continuum Mechanics and Thermodynamics, 32(1):207–228, 2020.
[2] A. Masud and T. J. R. Hughes. A stabilized mixed finite element method for Darcy flow. Comput. Methods Appl. Mech. Eng., 191(39-40):4341–4370, 2002.