Sesión Análisis funcional y complejo

Aproximación Diagonal Simultánea de dos Matrices Hermitianas $2 \times 2$

Micaela Chaile

UNLP - IAM , Argentina   -   Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.

Sean $X$ e $Y$ matrices hermitianas de $ 2\times 2$ y denotemos $||\cdot ||$ la norma de operadores. Abordamos el problema de encontrar una matriz diagonal real $D \in D_2(\mathbb{R})$ que minimice la mayor de las normas de $X+D$ e $Y+D$. Es decir, encontramos explícitamente los valores $a, b \in \mathbb{R}$ que resuelven: $$ \min_{a,b\in\mathbb{R}}\ \max\left\{ \left\| X + \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix} \right\|,\ \left\| Y + \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix} \right\| \right\}. $$

Clasificamos las soluciones en casos según las relaciones entre las trazas y entradas diagonales de $X$ e $Y$, permitiendo identificar en qué casos el minimizador es único.

Este problema de aproximación diagonal simultánea se enmarca en el estudio de la geometría del espacio de pares de proyecciones con conmutador fijo, cuyas órbitas admiten una estructura de espacio homogéneo (ver [4]). La solución presentada permite construir explícitamente levantamientos mínimales (es decir, matrices minimales) y, con ello, describir curvas de longitud mínima en un espacio homogéneo de la forma $\mathcal{U}_{\mathcal{A}}/ \mathcal{U}_{\mathcal{B}}$ donde $\mathcal{U}_{\mathcal{A}}$ son las matrices unitarias del álgebra $\mathcal{A}$ y $\mathcal{B} \subset \mathcal{A}$ es una subálgebra. Estos espacios están dotados de la métrica de Finsler cociente inducida por la norma de operadores [1]. En particular, mostramos cómo la solución explícita obtenida permite resolver un problema de valor inicial en un caso especial de estas álgebras.

Trabajo en conjunto con: CHIUMIENTO Eduardo (UNLP - IAM, Argentina ).

Referencias

[1] C. Durán, L. Mata-Lorenzo, L. Recht, Metric geometry in homogeneous spaces of the unitary group of a C*-algebra. Part I: minimal curves, Adv. Math. 184 (2) (2004) 342-366.

[2] E. Andruchow, G. Larotonda, L. Recht, A. Varela, A characterization of minimal Hermitian matrices, Linear Algebra Appl. 436 (2012), no. 7, 2366 - 2374.

[3] A. H. Klobouk, A. Varela, Concrete minimal 3 x 3 Hermitian matrices and some general cases, Demonstr. Math. (2017), no. 50, 330 - 350.

[4] E. Chiumiento, Ch. Micaela, On projections with fixed commutator, operator angles and their geometry (2025)

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