Sesión AnálisisSoluciones de la divergencia en espacios de Hardy-Sobolev
Ricardo Durán
Universidad de Buenos Aires, Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
El análisis variacional de las ecuaciones clásicas de la mecánica se basa fuertemente en diversas desigualdades que involucran una función y sus derivadas (desigualdades de Poincaré, Korn, etc.). Muchas de estas desigualdades son consecuencia del siguiente resultado:
Dados un dominio acotado n-dimensional $\Omega$ y una función de integral cero $f\in L^p(\Omega)$, existe un campo vectorial ${\bf u}$, cuyas componentes se anulan en el borde de $\Omega$ y tanto ellas como sus derivadas primeras están en $L^p(\Omega)$, tal que \[ \mbox{div}{\bf u}=f \, \mbox{en} \,\, \Omega \quad \mbox{y}\quad \|\nabla u\|_{L^p} \le C \|f\|_{L^p} \] donde la constante $C$ depende solo de $p$ y de $\Omega$.
Este resultado ha sido demostrado de diversas maneras y se sabe que vale para $1 \lt p \lt \infty$ bajo hipótesis muy generales sobre el dominio. También es conocido que el resultado no vale en el caso $p=1$, por lo que resulta natural la pregunta de si será válido si se reemplaza $L^1$ por el espacio de Hardy $H^1$.
El objeto de este trabajo es extender la existencia de solución al caso $\frac{n}{n+1} \lt p\le 1$ donde ahora $f$ es una distribución perteneciente al espacio de Hardy $H^p$ y soportada en $\overline\Omega$. Este resultado era conocido pero nuestra demostración es mucho más simple y puede extenderse al caso de espacios de Hardy con pesos.
Trabajo en conjunto con: María Eugenia Cejas (Universidad Nacional de La Plata e IMAS, UBA-CONICET).