Sesión Matemática Discreta

Una nueva extensión de la inversa Core a matrices de índice arbitrario

Vanina Grisel Negro

Universidad Nacional de Río Cuarto, Argentina   -   Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.

Para una matriz $A\in \mathbb{C}^{n\times n}$ es conocido que la inversa Core es la única matriz $X\in \mathbb{C}^{n\times n}$ que satisface las condiciones: $AX = AA^\dagger$ y $\mathcal{R}(X) \subseteq \mathcal{R}(A)$ [1], donde $A^\dagger$ es la clásica inversa de Moore-Penrose de $A$. Una tal matriz $X$ existe si y solo si $A$ es de índice a lo sumo 1 (o sea, $\mathcal{R}(A^2)=\mathcal{R}(A)$), y en este caso la única solución viene dada por $X=A^\#AA^\dagger$, donde $A^\#$ representa la inversa de Grupo. La inversa Core es conocida por ser una $\{1,2,3\}$-inversa de $A$, es decir, una inversa interior ($AXA=A$), exterior ($XAX=X$) y $(AX)^*=AX$.

Desde su aparición en el año 2010, fue extendida de diferentes maneras para el caso de matrices de índice arbitrario como puede verse en [2-4]. En tales trabajos, básicamente la forma de definir las extensiones de la inversa Core radicaba en componer alguna inversa conocida (de Moore-Penrose, de Drazin, de Grupo) con ciertos proyectores (ortogonales u oblicuos). Una desventaja de estas inversas generalizadas es que no distinguen matrices nilpotentes pues resultan siempre nulas. Tampoco preservan la interesante propiedad de ser $\{1,2,3\}$-inversa de la matriz.

En esta charla presentamos una nueva técnica para generar una extensión alternativa de la inversa Core que se denomina inversa Core extendida (o $EC$-inversa). Esta técnica, a diferencia de componer inversas conocidas, se basa en sumas y diferencias de ciertas inversas generalizadas. Se analizará existencia y unicidad de la $EC$-inversa como así también su aplicación a un problema de minimización que involucra la norma Frobenius. Esta nueva extensión, puede distinguir matrices nilpotentes y además preserva la propiedad de ser $\{1,2,3\}$-inversa de la matriz.

-- Este trabajo está parcialmente subvencionado por la Universidad Nacional de Río Cuarto (Res. Nro. 0449/24 PPI 2024-2026), Universidad Nacional de La Pampa, Facultad de Ingeniería (Resol. Nro. 135/19) y CONICET (PIBAA 28720210100658CO).

Trabajo en conjunto con: David Eduardo Ferreyra (Universidad Nacional de Río Cuarto, CONICET, Argentina), Albina Natalia Priori (Universidad Nacional de Río Cuarto, Argentina ) y Dijana Mosi\'c (University of Ni\v s, Faculty of Sciences and Mathematics, Serbia).

Referencias

[1] O.M. Baksalary, G. Trenkler, Core inverse of matrices, Linear Multilinear Algebra, 58 (6) (2010) 681-697.

[2] D.E. Ferreyra, F.E. Levis, A.N. Priori, N. Thome, The weak core inverse, Aequat. Math., 95 (2021) 351-373.

[3] S. Malik, N. Thome, On a new generalized inverse for matrices of an arbitrary index, Appl. Math. Comput., 226 (1) (2014) 575-580.

[4] K. Manjunatha Prasad, K.S. Mohana, Core-EP inverse, Linear Multilinear Algebra, 62 (6) (2014) 792-802.

Ver resumen en PDF