Sesión Matemática DiscretaLa inversa $m$-WC respecto a un peso Hermitiano
Paola Moas
Universidad Nacional de Río Cuarto, CONICET, FCEFQyN, Universidad Siglo 21, Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
Prasad y Bapat [5] definieron la inversa de Moore-Penrose ponderada de una matriz $A\in \mathbb{C}^{m\times n}$ respecto a dos matrices hermitianas definidas positivas $E\in\mathbb{C}^{m\times m}$ y $F\in \mathbb{C}^{n\times n}$ como la única matriz $X=A^{\dagger}_{E,F}$ que satisface las ecuaciones matriciales \[ (1)~ AXA = A, \quad (2) ~ XAX = X, \quad (3^E)~ (EAX )^* = EAX, \quad (4^F)~ (FX A)^* = FXA. \] Si $E=I_m$ y $F=I_n$ , $A^{\dagger}_{E,F}$ representa la clásica inversa de Moore-Penrose $A^\dagger$ de $A$. Inspirado en dicho trabajo, en [1] introdujeron la inversa core-EP de una matriz $A\in \mathbb{C}^{n\times n}$ respecto a un peso Hermitiano invertible $E\in \mathbb{C}^{n\times n}$, denotada por $A^{\mathrel{\text{\textcircled{$\dagger$},E}}}$, la cual coincide con la inversa core-EP [6] cuando $E=I_n$. Usando la inversa $A^{\mathrel{\text{\textcircled{$\dagger$},E}}}$, recientemente en [4] estudiaron la inversa $m$-WG ponderada respecto de $E$ denotada por $A^{\mathrel{\text{\textcircled{$w$}}}_m^E}$.
La idea de esta charla es presentar una extensión de $A^{\mathrel{\text{\textcircled{$\dagger$},E}}}$ usando un parámetro $m\in \mathbb{N}$ y componiendo la inversa $m$-WG ponderada respecto de $E$ con un proyector oblicuo adecuado que involucra la inversa de Moore-Penrose ponderada. Más precisamente, \[A^{\mathrel{\text{\textcircled{$\#$}}}_m^E}=A^{\mathrel{\text{\textcircled{$w$}}}_m^E} A^m (A^m)^\dagger_{E,I_n}, \quad m\in \mathbb{N}.\] Cuando $E=I_n$, $A^{\mathrel{\text{\textcircled{$\#$}}}_m^E}$ se reduce a la inversa $m$-WC de $A$ estudiada en [2]. Más aún, si además $m=1$, $A^{\mathrel{\text{\textcircled{$\#$}}}_m^E}$ coincide con la inversa core débil estudiada en [3], mientras que si $m\ge k$ (donde $k$ indica el índice de $A$), $A^{\mathrel{\text{\textcircled{$\#$}}}_m^E}$ coincide con la inversa core-EP.
Este trabajo está parcialmente subvencionado por la Universidad Nacional de Río Cuarto (PPI 18/C634), Universidad Nacional de La Pampa, Facultad de Ingeniería (Resol. Nro. 135/19) y CONICET (PIBAA 28720210100658CO).
Trabajo en conjunto con: David E. Ferreyra (Universidad Nacional de Río Cuarto, CONICET, FCEFQyN), Fabián E. Levis (Universidad Nacional de Río Cuarto, CONICET, FCEFQyN) y Paola Moas (Universidad Nacional de Río Cuarto,CONICET, FCEFQyN, Universidad Siglo 21).
Referencias
[1] Behera, R., Maharana, G., Sahoo, J.K.: Further results on weighted core-EP inverse of matrices. Results Math. 75, 174 (2020).
[2] Ferreyra D.E., Malik, S.B.: The $m$-weak core inverse. Rev. R. Acad. Cienc. Exactas Fís. Nat. Ser. A Mat. 118, 41 (2024).
[3] Ferreyra, D.E., Levis, F.E., Priori A.N., Thome N.: The weak core inverse. Aequat. Math. 95 (2021), 351–373.
[4] Ferreyra, D.E., Levis, F.E., Moas P., Orquera V.: The $m$-group inverse respect to a Hermitian weight. Preprint (2024).
[5] Manjunatha Prasad, K., Bapat, R.B.: The generalized Moore-Penrose inverse. Linear Algebra Appl. 165 (1992), 59–69.
[6] Manjunatha Prasad, K., Mohana, K.S.: Core-EP inverse. Linear Multilinear Algebra 62 (6)(2014), 792–802.