Sesión Matemática DiscretaLa inversa de grupo $m$-débil relativa a un peso Hermitiano
Valentina Orquera
Universidad Nacional de Río Cuarto, CONICET, FCEFQyN, Universidad Siglo 21, Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
La inversa $m$-WG para elementos en un anillo con involución arbitrario fue introducida recientemente en [6]. Para el caso de una matriz $A\in \mathbb{C}^{n\times n}$ de índice $k$ se define como la única matriz $X=A^{\mathrel{\text{\textcircled{$w$}}}_m}$ que satisface las ecuaciones \[ XA^{k+1}=A^k, \quad AX^2=X, \quad (A^*)^kA^{m+1}X=(A^*)^kA^m, \quad m\in \mathbb{N}. \] Cuando $m=1$, $A^{\mathrel{\text{\textcircled{$w$}}}_m}$ coincide con la inversa de grupo débil $A^{\mathrel{\text{\textcircled{$w$}}}}$ de $A$ estudiada en [4], mientras que si $m\ge k$, $A^{\mathrel{\text{\textcircled{$w$}}}_m}$ coincide con la clásica inversa de Drazin y por lo tanto resulta también una extensión de la inversa de grupo cuando $k=1$. Prasad y Bapat [2] definieron la inversa de Moore-Penrose ponderada de una matriz $A\in \mathbb{C}^{m\times n}$ respecto a dos matrices hermitianas definidas positivas $E\in\mathbb{C}^{m\times m}$ y $F\in \mathbb{C}^{n\times n}$ como la única matriz $X=A^{\dagger}_{E,F}$ que satisface las ecuaciones \[ (1)~ AXA = A, \quad (2) ~ XAX = X, \quad (3^E)~ (EAX )^* = EAX, \quad (4^F)~ (FX A)^* = FXA. \] Si $E=I_m$ y $F=I_n$ , $A^{\dagger}_{E,F}$ representa la clásica inversa de Moore-Penrose $A^\dagger$ de $A$. Dicha inversa tiene interesantes aplicaciones en redes neuronales [5]. Combinando algunas de las ecuaciones que definen a la inversa de Moore-Penrose ponderada, en [1] introdujeron la inversa core-EP de una matriz $A\in \mathbb{C}^{n\times n}$ respecto a un peso Hermitiano invertible $E\in \mathbb{C}^{n\times n}$, denotada por $A^{\mathrel{\text{\textcircled{$\dagger$},E}}}$, la cual coincide con la inversa core-EP [3] cuando $E=I_n$.
Motivados por los trabajos previos, en esta charla se presenta la inversa $m$-WG de una matriz $A\in \mathbb{C}^{n\times n}$ respecto a un peso Hermitiano invertible $E\in\mathbb{C}^{n\times n}$ como la única matriz $X=A^{\mathrel{\text{\textcircled{$w$}}}_m^E}$ que satisface \[AX^2=X, \quad AX=\left( A^{\mathrel{\text{\textcircled{$\dagger$},E}}}\right)^{m} A^m, \quad m\in \mathbb{N}.\] Si $E=I_n$, $A^{\mathrel{\text{\textcircled{$w$}}}_m^E}$ se reduce a la inversa $m$-WG de $A$. Se estudian resultados de existencia y unicidad de esta nueva inversa como así también diferentes representaciones y caracterizaciones.
Este trabajo está parcialmente subvencionado por la Universidad Nacional de Río Cuarto (PPI 18/C634), Universidad Nacional de La Pampa, Facultad de Ingeniería (Resol. Nro. 135/19) y CONICET (PIBAA 28720210100658CO).
Trabajo en conjunto con: David E. Ferreyra (Universidad Nacional de Río Cuarto, CONICET, FCEFQyN), Fabián E. Levis (Universidad Nacional de Río Cuarto, CONICET, FCEFQyN) y Paola Moas (Universidad Nacional de Río Cuarto, CONICET, FCEFQyN, Universidad Siglo 21).
Referencias
[1] Behera, R., Maharana, G., Sahoo, J.K.: Further results on weighted core-EP inverse of matrices. Results Math. 75, 174 (2020).
[2] Manjunatha Prasad, K., Bapat, R.B.: The generalized Moore-Penrose inverse. Linear Algebra Appl. 165 (1992), 59–69.
[3] Manjunatha Prasad, K., Mohana, K.S.: Core-EP inverse. Linear Multilinear Algebra 62 (6)(2014), 792–802.
[4] Wang, H., Chen,J.: Weak group inverse. Open Math. 16 (1) (2018), 1218-1232.
[5] Wei, Y.: Recurrent neural networks for computing weighted Moore-Penrose inverse. Appl. Math. Comput. 116 (2000), 279-287.
[6] Zhou, Y., Chen, J., Zhou, M.: $m$-weak group inverses in a ring with involution. Rev. R. Acad. Cienc. Exactas Fís. Nat. Ser. A Mat. 115, 2 (2021).