Sesión Álgebra y GeometríaConstrucción de álgebras de Lie rígidas
Estela Fátima Fernández
Universidad Nacional de Tucumán, FACET, Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
Determinar si un álgebra de Lie es rígida o no, es un problema difícil. Existen algunos criterios y algunas familias conocidos de álgebras rígidas.
Si un álgebra de Lie $\mathfrak{g}$ tiene segundo grupo de cohomología adjunta nulo, $H^2(\mathfrak{g},\mathfrak{g})=0$, entonces $\mathfrak{g}$ es rígida. A éstas se las llama \emph{algebraicamente rígidas}.
Dos familias importantes, de álgebras no solubles, fueron consideradas por Richardson [1] y Carles [2] respectivamente.
(1) Productos semidierectos de semisimples $ \mathfrak{s}$ por una representación irreducible $V$: $\mathfrak{s}\ltimes V$
(2) Álgebras $\mathfrak{g}$ completas, esto es con $H^0(\mathfrak{g},\mathfrak{g})=H^1(\mathfrak{g},\mathfrak{g})=0$, y nilradical abeliano.
En esta charla describiré la construcción de algunas familias nuevas de álgebras de Lie algebraicamente rígidas, de los siguientes tipos:
(a) $\mathfrak{s} \ltimes V$, donde $\mathfrak{s}$ es semisimple y $V$ una representación de $\mathfrak{s}$, no necesariamente irreducible, o una deformación de éstas. (b) $\mathfrak{s}\ltimes V\oplus \mathbb{C}$, donde $\mathfrak{s}$ es semisimple y $V$ una representación de $\mathfrak{s}$, no necesariamente irreducible, o una deformación de éstas.
Describiré en particular los siguientes casos:
(a) $\mathfrak{sl}_2 \ltimes (\mathbb{C}^j\oplus \mathbb{C}^k)$, con $j$ y $k $ pares. (b) $\mathfrak{sl}_2 \ltimes \mathbb{C}^n \oplus_\mu \mathbb{C}$, $n\ge 2$, para cierto 2-cociclo $\mu$.
También mostraré que las álgebras rígidas presentadas por Carles, se obtienen como casos particulares de esta construcción. Por ejemplo, el álgebra de Carles $(\mathfrak{s}\oplus \mathbb{C})\ltimes V$, satisface que \[ (\mathfrak{s}\oplus \mathbb{C})\ltimes V \simeq \mathfrak{s}\ltimes V \oplus_\sigma \mathbb{C}, \] para un 2-cocíclo $\sigma$ adecuado.
Este es un trabajo en proceso que es parte de mi tesis doctoral, bajo la supervisión de Paulo Tirao.
Referencias
[1] R. W. Richardson, Jr., “On the rigidity of semi-direct products of Lie algebras”, Pac. J. Math. 22, 339-344 (1967).
[2] R. Carles, “Sur certainess classes d'algèbres de Lie rigides”, Math. Ann. 272,477-488 (1985).