Sesión Álgebra y GeometríaSeries de Poincaré generalizadas
Roberto Miatello
FaMAF, Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
Sea G=SL(2,R) y \Gamma un subgrupo de índice finito de SL(2,Z) actuando sobre H, el semiplano superior de Poincaré por transformaciones de Moebius. Las series de Poincaré son funciones en G que proveen un sistema de generadores para las formas automorfas holomorfas en H. Estas fueron estudiadas inicialmente por Hecke y Petersson quien las usó para construcción de todas las funciones meromorfas en una superficie de Riemann compacta. Posteriormente, Maass (1949), Selberg (1956) y luego Neunhöffer y Niebur (1973) extendieron la noción construyendo series de Poincar'e analíticas reales, las que no son funciones holomorfas sino autofunciones del Laplaciano hiperbólico.
En colaboración con Nolan Wallach (en J.Funct. Analysis, 1989) extendimos la construcción, de SL(2,R) a todos los grupos de Lie simples G de rango real 1 (SO(n,1), SU(n,1), Sp(n,1) y F_4^1) (notar que SL(2,R) \simeq SO(2,1)), probando que los valores especiales y residuos de las nuevas formas generan todas las formas automorfas analíticas reales en G, excepto aquellas cuyos coeficientes de Fourier son todos nulos.
En conjunto con Roelof Bruggeman (Representation Theory, 2024), en el caso particular del grupo G=SU(2,1), hemos construido familias más amplias de series de Poincaré, asociadas a representaciones irreducibles unitarias del subgrupo unipotente maximal N de G, probando que, ahora sí, los valores especiales y residuos de estas nuevas familias generan un sistema completo de formas automorfas para G/\Gamma. Tenemos la expectativa de que una construcción análoga permitirá extender el resultado a todo grupo de Lie semisimple G de rango real 1.