Sesión Álgebra y GeometríaPares de Gelfand generalizados, nuevos ejemplos
José Ignacio García
Universidad Nacional de Salta - Facultad de Ciencias Exactas, Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
Sea $N$ un grupo de Lie nilpotente y $K$ un subgrupo compacto de $Aut(N)$ (grupo de automorfismos de $N$). Uno de los primeros resultados de Benson, Jenkins y Ratcliff establece que, si $(K,N)$ es un par de Gelfand entonces $N$ es a lo sumo $2$-pasos nilpotente. La noción de pares de Gelfand fue generalizada para el caso en que $K$ es un grupo unimodular no compacto. En [5] y en [6] exhibimos familias de pares de Gelfand generalizados $(K,N)$ tales que $N$ es un grupo de Lie $m$ pasos nilpotente con $m \gt 2$. Ahora, sea $N=\mathcal{S}\ltimes H_n$ el grupo de Lie $3$ pasos nilpotente con $H_n$ el grupo de Heisenberg de dimensión $(2n+1)$ y $\mathcal{S}$ el grupo de matrices simétricas $n\times n$. En esta charla, caracterizaremos $Aut(N)$ y mostraremos un subgrupo $K$ de $Aut(N)$ tal que $(K,N)$ es un par de Gelfand generalizado. %del álgebra de Lie $3$ pasos nilpotente $\mathcal{S}\ltimes \h_m$, donde $\h_m$ es el álgebra de Heisenberg de dimensión $(2m+1)$ y $\mathcal{S}$ es la subálgebra de derivaciones formada por las matrices simétricas. Además, si $N$ es el grupo de Lie simplemente conexo con álgebra de Lie $\mathcal{S}\ltimes \h_m$, mostraremos un nuevo subgrupo $K$ de $Aut(N)$ tal que $(K,N)$ es un par de Gelfand generalizado.
Trabajo en conjunto con: Silvina Campos (Universidad Nacional de Salta, Argentina) y Linda Saal (Universidad Nacional de Córdoba).
Referencias
[1] \textsc{Astengo, F., Di Blasio, B., Ricci, F.} \textit{Gelfand transforms of polyradial functions on the Heisenberg group}, J. Funct. Anal. \textbf{251}, (2007) 772-791.
[2] \textsc{Benson, C., Jenkins, J., Ratcliff, G.} \textit{On Gelfand pairs associated with solvable Lie groups}, Trans. Amer. Math. Soc. \textbf{321} (1990) 85-116.
[3] \textsc{Benson, C., Jenkins, J., Ratcliff, G.} \textit{Bounded K-spherical function on Heisenberg group}, J. Funct. Anal. \textbf{105}, (1992) 409-443.
[4] \textsc{Benson, C., Jenkins, J., Ratcliff, G.} \textit{The orbit method and Gelfand pairs associated with nilpotent Lie groups}, J. Geom. Anal. \textbf{9}, (1999) 569-582.
[5] \textsc{Campos, S., Garc\'ia, J. and Saal, L.} \textit{Generalized Gelfand pairs associated to $m$-step nilpotent Lie groups}, J. Geom. Anal. {\bf 33}, Article number: 54 (2023).
[6] \textsc{Campos, S., Garc\'ia, J. and Saal, L.} \textit{Spherical analysis attached to some $m$-step nilpotent Lie group}, J. Fourier Anal. Appl. {\bf 30}, Article number: 20 (2024).
[7] \textsc{Fischer,V., Ricci, F., Yakimova, O.}, \textit{Nilpotent Gelfand pairs and spherical transforms of Schwartz functions III. Isomorphisms between Schwartz spaces under Vinberg condition}, arxiv 1210.7962.
[8] \textsc{Gallo, A., Saal, L.}, \textit{A generalized Gelfand pair attached to a $3$-step nilpotent Lie group}, J. Fourier Anal. Appl. Vol \textbf{26}, 62 (2020).
[9] \textsc{Lauret, J.} \textit{Gelfand pairs attached to representations of compact Lie groups}, Transform. Groups \textbf{5}, (2000) 307-324.
[10] \textsc{Ratcliff, G.}, \textit{Symbols and orbits for $3$-step nilpotent Lie groups}, J. Funct. Anal. \textbf{62} (1985), 38-64.