Resúmenes

Análisis

Ordenados alfabéticamente por título.
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Acotaciones $L^p(\cdot)-L^q(\cdot)$ para operadores con nucleos de tipo \textquotedblleft rough\textquotedblright

Lucas Alejandro Vallejos (Famaf-CIEM, lutersman@gmail.com); Marta Susana Urciuolo (Famaf-CIEM, Urciuolo@gmail.com)

Al estudiar el operador maximal de Hardy-Littlewood en el contexto de los espacios de Lebesgue variables surge la necesidad de dar condiciones a las funciones exponente $p(\cdot )$. Las condiones clásicas son las condiciones $\log$ - Hölder: la condición de control local, la $ LH_{0}$ y una condición de control en el infinito, la $LH_{\infty }$, las cuales imponen cierta continuidad en las funciones exponente. D. Cruz Uribe, A. Fiorenza y C.J. Neugebauer prueban que, con tales condiciones, el operador maximal de Hardy-Littlewood resulta acotado sobre el espacio $ L^{p(\cdot )}(\mathbb{R}^{n})$. Tales condiciones son suficientes pero no necesarias. En esta charla introduciremos otras condiciones: La condición $N_{\infty }$ y una condición de control local que es la condición $K_{0}$. Con algunas condiciones extras se obtiene la acotación del operador maximal de Hardy-Littlewood para exponentes que no necesariamente satisfacen las condiciones $\log$-Hölder.

Dado $0\leq \alpha < n$, en este trabajo estudiamos operadores con núcleos de la forma t \[ K(x,y)=k_{1}(x-A_{1}y)...k_{m}(x-A_{m}y),  \  \  (1)\] t $k_{i}(x)=\frac{\Omega _{i}(x)}{\left\vert x\right\vert ^{n/q_{i}}}$ donde $\Omega _{i}:\mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$ son funciones homogéneas de grado cero que satisfacen una condición de Dini y otra condición de tamaño, $A_{i}$ son ciertas matrices invertibles y $\frac{n}{ q_{1}}+...+\frac{n}{q_{m}}=n-\alpha $. En conjunto con la Dra. Marta Urciuolo obtenemos la acotación de estos operadores desde el $L^{p(\cdot )}(\mathbb{R}^{n})$ en $L^{q(\cdot )}(\mathbb{R}^{n})$ para $\frac{1}{q(\cdot )}=\frac{1}{p(\cdot )}-\frac{\alpha }{n}$, donde las funciones exponentes satisfacen las condiciones $N_{\infty }$ y $K_{0}$, y también satisfacen la relación $p(A_{i}x)\leq p(x)$ p.c.t.$x\in \mathbb{R}^{n}$

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Confinamientos espectrales y el Teorema de Gershgorin

Francisco Martínez Pería (CMALP-UNLP y IAM-CONICET, martinezperia@gmail.com)

Consideremos una matriz de operadores $S$ actuando en la suma directa ortogonal de dos espacios de Hilbert $\mathcal{H}=\mathcal{H}_+\oplus\mathcal{H}_-$, \[ S=\begin{pmatrix} A & B \\ -B^* & D \end{pmatrix}, \] donde $A$ y $D$ son operadores (posiblemente no acotados) autoadjuntos en $\mathcal{H}_+$ y $\mathcal{H}_-$, respectivamente, y $B$ es un operador acotado de $\mathcal{H}_-$ en $\mathcal{H}_+$. El objetivo de esta charla es presentar un confinamiento espectral para la matriz de operadores $S$. El mismo puede leerse como \[ \sigma(S)\setminus\mathbb{R}\ \subseteq  \{\lambda\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}:  \|(A-\lambda)^{-1}B\|\geq 1  \text{y}  \|(D-\lambda)^{-1}B^*\|\geq 1  \}. \] A pesar de que este confinamiento no está explícitamente formulado en términos de los espectros de $A$ y de $D$, mostraremos que puede reinterpretarse de una manera más geométrica. Más precisamente, veremos que el resultado anterior implica una serie de confinamientos que recuerdan al Teorema de Gershgorin.

Esta charla esta basada en un trabajo en conjunto con Juan I. Giribet (FI-UBA y IAM-CONICET), M. Langer (U. Strathclyde), F. Philipp (KU Eichst\"{a}tt-Ingolstadt) y C. Trunk (TU Ilmenau).

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Conjuntos de muestreo y de interpolación universales en grupos localmente compactos abelianos

María Guadalupe García (CMaLP-FCE-UNLP, mggarcia82@gmail.com); Jorge Antezana (CMaLP-FCE-UNLP, IAM-CONICET, jaantezana@gmail.com)

Sean $G$ un grupo LCA y $\Omega$ un subconjunto precompacto medible Borel de $\widehat{G}$, el grupo dual de $G$. Un conjunto $\Lambda \subseteq G$ se denomina conjunto estable de muestreo para el espacio de Paley Wiener $PW_\Omega$ si las evaluaciones en elemento de $\Lambda$ forman un marco. Por otra parte, un conjunto $\Gamma$ se dice conjunto de interpolación estable para $PW_\Omega$ si para cualquier $\left\{ c_\gamma \right\}_{\gamma \in \Gamma} \in \ell^2(\Gamma)$ el problema de interpolación \[ f(\gamma) = c_\gamma \] tiene una solución $f \in PW_\Omega$. Landau probó 1967 que un conjunto de muestreo $\Lambda \subset\mathbb{R}^d$ (resp. interpolación $\Gamma$) para $PW_\Omega$ satisface que $\mathcal{D}^-(\Lambda) \geq \left|\Omega\right|$ (resp. $\mathcal{D}^+(\Gamma) \leq \left|\Omega\right|$), donde $\mathcal{D}^-$ ($\mathcal{D}^+$) denota la densidad inferior (superior) de Beurling. En 2008 dichas condiciones fueron extendidas por Gröchenig, G. Kutyniok y K. Seip a grupos LCA. Cuando $\mathcal{D}^+(\Lambda)= \mathcal{D}^-(\Lambda)$ se dice que el conjunto $\Lambda$ tiene densidad uniforme y la denotamos $\mathcal{D}$. Si $\Lambda$ cumple esta última condición y es de muestreo estable (resp. interpolación estable) para cualquier $PW_\Omega$, tal que $|\Omega|< \mathcal{D}(\Lambda)$ (resp. $|\Omega| >\mathcal{D}(\Lambda)$), se denomina universal. En [2] se probó que los grupos que admiten un cuasi-cristal simple poseen conjuntos de muestreo (resp. interpolación) universales, ya que los cuasi-cristales simples poseen dicha propiedad. Sin embargo, no todo grupo localmente compacto abeliano admite cuasi-cristales simples, como por ejemplo, el grupo $\mathbb{R} \times \mathbb{Z}_2^3$. En esta charla hablaremos sobre la existencia de conjuntos de muestreo y de interpolación universales para grupos que no poseen cuasi-cristales simples. Más aún, en [1] se probó la existencia de conjuntos de muestreo e interpolación arbitrariamente cercanos a la densidad crítica $m_{\widehat{G}}(\Omega)$ para $PW_\Omega$. Luego, también comentaremos que tales conjunto no sólo existen, sino que también se los pueden construir con la propiedad de universalidad.

Bibliografía

[1] E. Agora, J. Antezana and C. Cabrelli, Multi-tiling sets, Riesz bases, and sampling near the critical density in LCA groups, Adv. Math. {\bf{285}} (2015) 454-477.

[2] E. Agora, J. Antezana, C. Cabrelli and Basarab Matei, Existence of quasicrystals and universal stable sampling and interpolation in LCA groups, Trans. Amer. Math. Soc. (2019).

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Constantes de polarización

Verónica Dimant (CONICET, vero@udesa.edu.ar); Daniel Galicer (CONICET, dgalicer@gmail.com); Jorge Tomás Rodríguez (CONICET, jorgetomasrodriguez@gmail.com)

Dado un espacio de Banach $X$ sobre un cuerpo $\mathbb{K}$, con $\mathbb{K}$ los números reales o los números complejos, se define su $k$-ésima constante de polarización $\mathbf{c}(k,X)$ como la mejor constante $C$ tal que para cualquier polinomio $k$-homogéneo $P:X\rightarrow \mathbb{K}$ \[ \nonumber \Vert \check{P} \Vert \leq C \Vert P \Vert.  \  \  (1)\] Donde $\check{P}$ es la función $k$-lineal simétrica asociada a $P$ y las normas consideradas son las normas uniformes usuales.

Usando formulas de polarización clásicas, no es difícil mostrar las siguientes cotas para la constante de polarización \[ 1\leq \mathbf{c}(k,X)\leq \frac{k^k}{k!}.\] En particular, el comportamiento de estas constantes se puede estimar de la siguiente forma \[ 1\leq \lim_{k \to \infty} \mathbf{c}(k,X)^\frac{1}{k}\leq e.\]

El objetivo principal de la charla será estudiar este problema en espacios finito dimensionales. Mostraremos que para cualquier espacio complejo se tiene \[ \lim_{k \to \infty} \mathbf{c}(k,X)^\frac{1}{k}= 1.\] Mientras que para espacios reales este fenómeno ya no ocurre, y el comportamiento de las constantes de polarización se encuentra ligado al procedimiento de complexificación de Bochnak.

Adicionalmente veremos cómo el estudio de las constantes de polarización se relaciona con otros conceptos de la teoría de espacios de Banach, como las nociones de tipo y cotipo, y la estructura local de los espacios.

Estos resultados son parte de un trabajo en colaboración con Verónica Dimant y Daniel Galicer.

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Desigualdades de Poincaré-Sobolev mejoradas con pesos

Javier Martínez Perales (BCAM - Basque Center for Applied Mathematics, javicemarpe@gmail.com)

En esta comunicación se expondrán desigualdades de Poincaré-Sobolev mejoradas con pesos, que generalizan desigualdades ya conocidas permitiendo la consideración de pesos de tipo Muckenhoupt. Nuestro enfoque permite obtener con un mismo argumento desigualdades de Poincaré-Sobolev mejoradas con peso tanto con derivadas clásicas como con derivadas fraccionarias. Los resultados se obtienen mediante una generalización de un reciente resultado de automejora que aparece en Pérez, Carlos and Rela, Ezequiel. Degenerate Poincaré-Sobolev inequalities. To appear in Trans. Amer. Math. Soc., arXiv preprint arXiv:1805.10388 (2018).

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Desigualdades de tipo mixto. Un enfoque sparse

Israel Pablo Rivera Ríos (CONICET - INMABB, Departamento de Matemática, Universidad Nacional del Sur, israel.rivera@uns.edu.ar); Marcela Caldarelli (Departamento de Matemática, Universidad Nacional del Sur, marcela.caldarelli@uns.edu.ar)

En esta comunicación se presentará una aproximación a los problemas de desigualdades de tipo mixto basada en un argumento de tipo good-lambda, combinado con técnicas de dominación sparse para el caso en que el producto de pesos $uv$ está en $A_\infty$. Esta aproximación al problema facilita la obtención de resultados cuantitativos así como dar pruebas alternativas a algunos de los resultados ya conocidos para operadores de Calderón-Zygmund, integrales singulares rough o conmutadores.

Los resultados que se presentarán en esta comunicación están contenidos en un trabajo conjunto con Marcela Caldarelli [CRR].

Bibliografía

[CRR] Marcela Caldarelli, Israel P. Rivera-Ríos. A sparse approach to mixed weak type inequalities. Disponible en https:/arxiv.org/abs/1812.08023

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El espacio de interpolación $(L^p(\Omega), W^{1,p}(\Omega))_{s,p}$ en dominios irregulares

Irene Drelichman (IMAS (CONICET-UBA) y Departamento de Matemática, FCE, UNLP, irene@drelichman.com); Ricardo Durán (IMAS (CONICET-UBA) y Departamento de Matemática, FCEN, UBA, rduran@dm.uba.ar)

Es un resultado clásico que el espacio $(L^p(\mathbb{R}^n), W^{1,p}(\mathbb{R}^n))_{s,p}$, $1\le p< \infty$, $0< s< 1$, obtenido mediante el método de interpolación real es $W^{s,p}(\mathbb{R}^n)$, cuya norma está dada por \[ \|f\|_{W^{s,p}(\mathbb{R}^n)}=\|f\|_{L^p(\mathbb{R}^n)}+|f|_{W^{s,p}(\mathbb{R}^n)}, \] con \[ |f|^p_{W^{s,p}(\mathbb{R}^n)} = \int_{\mathbb{R}^n} \int_{\mathbb{R}^n} \frac{|f(x)-f(y)|^p}{|x-y|^{n+sp}} \, dy \,dx . \] El mismo resultado vale en dominios Lipschitz $\Omega\subset\mathbb{R}^n$, donde ahora \[ |f|^p_{W^{s,p}(\Omega)} = \int_{\Omega} \int_{\Omega} \frac{|f(x)-f(y)|^p}{|x-y|^{n+sp}} \, dy \,dx . \] Por otra parte, se sabe que este resultado no es válido para dominios arbitrarios ya que, cualquiera sea $\Omega$, se tiene $W^{1,p}(\Omega)\subset (L^p(\Omega), W^{1,p}(\Omega))_{s,p} \subset L^p(\Omega)$, y es fácil construir ejemplos de dominios para los cuales $W^{1,p}(\Omega) \not\subset W^{s,p}(\Omega)$, para ciertos valores de $s$ y $p$, siendo un ejemplo típico un cuadrado al que se le quita un segmento.

En este trabajo obtenemos una caracterización del espacio intermedio $(L^p(\Omega), W^{1,p}(\Omega))_{s,p}$ para una clase de dominios que llamamos admisibles, la cual incluye ciertos dominios que no son Lipschitz. Demostramos que para esta clase vale que $(L^p(\Omega), W^{1,p}(\Omega))_{s,p}= \widetilde W^{s,p}(\Omega)$ donde $\widetilde W^{s,p}(\Omega)$ es el subespacio de $L^p(\Omega)$ inducido por la seminorma \[ |f|^p_{\widetilde W^{s,p}(\Omega)} = \int_\Omega \int_{|x-y|< \frac{d(x)}2} \frac{|f(x)-f(y)|^p}{|x-y|^{n+sp}} \, dy \,dx . \] Es interesante mencionar que este espacio fraccionario fue introducido previamente en el contexto de desigualdades de Poincaré fraccionarias y que se sabe que $W^{s,p}(\Omega)=\widetilde W^{s,p}(\Omega)$ cuando $\Omega$ es un dominio Lipschitz o, más en general, un dominio uniforme.

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El laplaciano fraccionario en espacios de Ahlfors: espacios funcionales y teoría espectral.

Juan Comesatti (IMAL, jcomesatti@santafe-conicet.gov.ar); Hugo Aimar (IMAL, haimar@santafe-conicet.gov.ar); Ivana Gomez (IMAL, ivanagomez@santafe-conicet.gov.ar)

Con el objeto de abordar la formulación variacional de la teoría espectral de operadores de diferenciación fraccionaria en espacios de tipo homogéneo con una dimensión bien definida (como es el caso de los espacios de Ahlfors), para problemas de Dirichlet, se introduce una clase de espacios funcionales de tipo Sobolev y se muestran teoremas de extensión, inmersión y compacidad. Estos resultados constituyen una generalización de los contenidos en [1], [2], [3] y [4], dados en el contexto euclídeo.

Sea $\left( X,d,\mu \right) $ un espacio de tipo homogéneo $\alpha $ -Ahlfors y $D^{s}$ el operador de diferenciación fraccionaria dado por \begin{equation*} D^{s}f\left( x\right) =\underset{X}{\int }\frac{f\left( x\right) -f\left( y\right) }{d\left( x,y\right) ^{\alpha +2s}}d\mu \left( y\right) \end{equation*} con $0< s< 1$. Sea $\mathcal{B}$ la forma bilineal asociada \begin{equation*} \mathcal{B}\left( u,v\right) =\underset{X}{\int }\underset{X}{\int }\frac{ \left( u\left( x\right) -u\left( y\right) \right) \left( v\left( x\right) -v\left( y\right) \right) }{d\left( x,y\right) ^{\alpha +2s}}d\mu \left( y\right) d\mu \left( x\right) \end{equation*} y sea \begin{equation*} H^{s}\left( X\right) =\left\{ f\in L^{2}\left( X,\mu \right) :\mathcal{B} \left( f,f\right) <\infty \right\} \end{equation*}

Los siguientes son los resultados más importantes:

Teorema. Sea $\Omega \subseteq X$ un subconjunto abierto y acotado para el cual existe una constante $C >0$ con $\mu \left( B\left( x,r\right) \cap \Omega \right) \geq C\mu \left( B\left( x,r\right) \right) $ para todo $x\in \Omega $ y todo $r\in (0,1]$. Sea $0< s< 1$, entonces:

1) (Extensión) Existe un operador de extensión $ E:H^{s}\left( \Omega \right) \rightarrow H^{s}\left( X\right) $ continuo.

2) (Inmersión) El operador identidad $i:$ $ H^{s}\left( X\right) \rightarrow $ $L^{2^{\ast }}\left( X,\mu \right) $ es continuo para $s< \frac{\alpha }{2}$ y $2^{\ast }= \frac{2\alpha }{\alpha -2s}$.

3) (Compacidad) El operador identidad $i:$ $H^{s}\left( \Omega \right) \rightarrow $ $L^{2}\left( \Omega \right) $ es compacto.

4) (Espectro) Existe una base ortonormal en $L^{2}\left( X,\mu \right) $ de autofunciones y una sucesión creciente no acotada de autovalores no negativos, asociados a la forma bilineal $ \mathcal{B}$.

Se presentarán algunos casos particulares de interés.



[1] Eleonora Di Nezza, Giampiero Palatucci, and Enrico Valdinoci, Hitchhiker's guide to the fractional Sobolev spaces, Bull. Sci. Math. 136 (2012), no. 5, 521--573. MR 2944369

[2] Piotr Haj\l asz, Pekka Koskela, and Heli Tuominen, Measure density and extendability of Sobolev functions, Rev. Mat. Iberoam. 24 (2008), no. 2, 645--669. MR 2459208

[3] Giovanni Molica Bisci, Vicentiu D. Radulescu, and Raffaella Servadei, Variational methods for nonlocal fractional problems, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, vol. 162, Cambridge University Press, Cambridge, 2016, With a foreword by Jean Mawhin. MR 3445279

[4] Yuan Zhou, Fractional Sobolev extension and imbedding, Trans. Amer. Math. Soc. 367 (2015), no. 2, 959--979. MR 3280034

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Estimaciones de la norma en $L^p([0,1],X)$ vía tipo y cotipo

Felipe Marceca (IMAS UBA-CONICET, fmarceca@dm.uba.ar); Daniel Carando (IMAS UBA-CONICET, dcarando@dm.uba.ar); Pablo Sevilla-peris (IUMPA UPV, psevilla@mat.upv.es)

Los resultados analíticos para funciones a valores en un espacio de Banach suelen depender de la geometría del espacio. El objetivo de esta charla es brindar estimaciones de la norma $p$ de una función a valores en un espacio de Banach $X$ según el tipo y el cotipo de $X$. Para ello partiremos de las propiedades geométricas de tipo y cotipo para llegar a una versión vectorial de la desigualdad de Hausdorff-Young para la serie de Walsh-Fourier de una función.

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Extensión del operador de mejor aproximación polinomial en Espacios de Orlicz-Lorentz

María Inés Gareis (Universidad Nacional de La Pampa - Facultad de Ingeniería, marygareis@ing.unlpam.edu.ar); Fabián Eduardo Levis (Universidad Nacional de Río Cuarto - CONICET - FCEFQyN, flevis@exa.unrc.edu.ar); David Eduardo Ferreyra (Universidad Nacional de Río Cuarto - FCEFQyN, deferreyra@exa.unrc.edu.ar)

Sea $M_0$ la clase de todas las funciones medibles Lebesgue definidas sobre $[0,a)$, $0< a< \infty$, con valores en la recta extendida $\mathbb{R}^*$. Como es usual, para $f \in M_0$ denotemos su reordenamiento decreciente por $f^*$. Sean $\phi:[0,\infty) \to [0,\infty)$, una función convexa, diferenciable, con $\phi(0)=0$, $\phi(t) >0$ si $t >0$, y $w:(0,a) \to (0,\infty)$, una función peso, decreciente y continua.

Para $f \in M_0$, sea $\Psi_{w,\phi}(f) = \int_0^a \phi(f^*(t))w(t)dt$. Denotemos por $\Lambda_{w,\phi}$ al espacio de Orlicz-Lorentz definido por \[ \{f \in M_0 : \Psi_{w,\phi}(rf) < \infty \text{ para todo } r > 0\},\] y por $\Lambda_{w,\phi'}$ al espacio definido análogamente, donde $\phi'$ es la derivada de la función $\phi$.

En este contexto, definimos el operador de mejor aproximación polinomial para funciones de $\Lambda_{w,\phi}$ y extendemos la definición para funciones de $\Lambda_{w,\phi'}$. Asimismo, obtenemos una caracterización de tales operadores y algunas propiedades.

Estos resultados generalizan a espacios de Orlicz-Lorentz a aquellos conocidos en espacios $L^p$ y espacios de Orlicz.

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Fibrado canónico de esferas sobre la variedad de Grassmann

Eduardo Chiumiento (UNLP - IAM, eduardo@mate.unlp.edu.ar); Esteban Andruchow (UNGS - IAM, eandruchow@ungs.edu.ar); Gabriel Larotonda (UBA -IAM, glaroton@dm.uba.ar)

Dado un espacio de Hilbert $\mathcal{H}$, si $\mathcal{P}(\mathcal{H})$ son las proyecciones ortogonales de $\mathcal{H}$, consideramos el conjunto \[ \mathcal{R}= \{ \, (P,f) \in \mathcal{P}(\mathcal{H}) \times \mathcal{H} \, : \, Pf=f, \, \| f \|=1 \, \}. \] Este es el espacio total del fibrado canónico de esferas $\mathcal{R} \to \mathcal{P}(\mathcal{H})$, $(P,f) \mapsto P$. El grupo unitario actúa sobre $\mathcal{R}$, y sus componentes conexas resultan espacios homogéneos. Así es posible definir sobre $\mathcal{R}$ una métrica de Finsler cociente, y resolver el problema de valores iniciales utilizando las técnicas desarrolladas en [1]. Una versión restringida de $\mathcal{R}$ surge de considerar proyecciones en la Grassmanniana restringida. En este contexto Riemanniano estimaremos el radio geodésico.

Bibliografía

[1] C. E. Durán, L.E. Mata-Lorenzo, L. Recht, Metric geometry in homogeneous spaces of the unitary group of a $C^*$-algebra. I. Minimal curves, Adv. Math. 184 (2004), no. 2, 342--366.

[2] E. Andruchow, E. Chiumiento, G. Larotonda, Canonical sphere bundles of the Grassmann manifold, Geometriae Dedicata, en prensa.

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Formation of $\mathbb Z^2$-crystals under one-well interaction potentials

Mircea Petrache (PUC Chile, decostruttivismo@gmail.com); Laurent Betermin (University of Vienna, betermin@math.ku.dk); Lucia De Luca (Universita di Pisa, lucia.deluca@unipi.it)

We study N-point configurations of points which minimize an energy of the form $\mathcal E[V](X):=\sum_{1\le i< j\le N} V(|X(i)-X(j)|)$, in which $V$ is a pairwise interaction potential with one well, and $X:\{1,\ldots,N\}\to\mathbb R^2$ is a configuration of N particles.



The geometric structure of minimizing configurations was first described by Heitmann-Radin 1981 and Theil 2006. They give conditions on $V$ under which $\mathcal E[V]$-minimizers tend to a triangular lattice as $N\to\infty$. Theil 2006 also presents numerical evidence that the square lattice $\mathbb Z^2$ should appear for other one-well $V$'s. I will present recent work with L. Betermin and L. De Luca, in which we give for the first time a rigorous proof of such square-lattice crystallization. Some seemingly robust new principles and ideas are required in the proof.



Since our new potentials are obtained via a simple modification of the classical ones (basically, we enlarge the width of the "well" of $V$), this also shows in particular that a phase trasition occurs, from triangular to square lattice structures. If time allows, I will present several new directions and challenges opened by our method of proof.

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Fórmula unificada para matrices hermitianas minimales de $3 \times 3$

Abel Horacio Klobouk (UNLu - UNGS, aklobouk@unlu.edu.ar)

Sean $\mathcal{M}_3(\mathbb C)$ y $\mathcal{D}_3(\mathbb R)$ el álgebra de las matrices complejas y diagonal reales de $3 \times 3$ respectivamente. Dada una matriz $M\in \mathcal{M}_3(\mathbb C)$ fija, estudiamos las matrices diagonales ${D}_M \in \mathcal{D}_3(\mathbb R)$ que alcanzan la norma cociente \[ \|M+{D}_M\|=|||\, [M]\, |||=\min_{D\in \mathcal{D}_{3}\left(\mathbb R\right)}\|M+D\|=\text{dist}\left(M,\mathcal{D}_{3}\left(\mathbb R\right) \right), \] o equivalentemente \[ \|M+{D}_M\|\leq \|M+D\|, \text{ para toda } D\in \mathcal{D}_{3}\left(\mathbb R\right) \] donde $\|\ \|$ denota la norma espectral. Las matrices $M+{D}_M$ son llamadas matrices minimales. Estas matrices aparecen en el estudio de curvas minimales en la variedades bandera $\mbox{ $\mathcal{P}(n)$}=\mathcal{U}\left(\mathcal{M}_n(\mathbb C)\right)/\mathcal{U}\left(\mathcal{D}_n(\mathbb C)\right)$ donde $\mathcal{U}(\mathcal{A})$ denota las matrices unitarias del álgebra $\mathcal{A}$, donde $\mbox{ $\mathcal{P}(n)$}$ está dotado por una métrica de Finsler determinada por la norma cociente. Las curvas minimlaes $\delta$ en \( \mbox{ $\mathcal{P}(n)$} \) son dadas por acción a izquierda de $\mathcal{U}\left(\mathcal{M}_n(\mathbb C)\right)$ sobre $\mbox{ $\mathcal{P}(n)$}$. Esto es \[ \delta(t)=\left[e^{itM} U\right], \] donde $M$ es minimal y $[V]$ denota la clase de $V$ in $\mbox{ $\mathcal{P}(n)$}$. Además, las preguntas naturales y algunos ejemplos particulares que aparecen de la descripción geométrica de estos objetos están relacionados con problemas que aparecen en otros contextos: problemas de minimización de operadores relacionados con optimización y control, positividad y desigualdades en el análisis matricial, seminormas de Leibnitz, matrices unitariamente estocásticas.

El problema de encontrar la matriz $D_M$ más próxima a una matriz $M$ fija es un problema díficil debido a que la norma espectral no es diferenciable.

El caso de las matrices hermitianas minimales de $3 \times 3$ fue tratado en una publicación previa\footnote{Klobouk, Abel; Varela Alejandro, Concrete Minimal $3 \times 3$ Hermitian Matrices and Same General Cases, Demonstratio Mathematica (2017), 50(1), pp. 330-350}, detallando la existencia y en algunos casos la unicidad de la diagonal $D_M$, que se calcula a partir de distintas fórmulas dependiendo de las entradas de la matriz $M$. En el presente trabajo se muestra una fórmula única de existencia de la digonal $D_M$ que surge de una ingeniosa utilización del teorema del seno y del coseno de la geometría plana, extendiendo su formulación para aquellos casos en que los segmentos no se correspondan con valores de un triángulo posible, siendo este caso una aplicación concreta de una generalización de los teoremas mencionados que posee por sí mismo un interés propio.

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Geometría de operadores admisibles de Hartree-Fock-Bogoliubov

Claudia Damaris Alvarado (IAM-UNLP, claudiadamarisalvarado@gmail.com); Eduardo Chiumiento (IAM-UNLP, eduardo@mate.unlp.edu.ar)

Sea $\mathcal{H}$ un espacio de Hilbert separable, $\mathcal{K} = \mathcal{H} \oplus \mathcal{H}$, $\mathcal{B}( \mathcal{K})$ el álgebra de operadores acotados en $\mathcal{K}$ y $\mathfrak{S}_1$ el ideal de los operadores traza en $\mathcal{H}$. En esta charla presentaremos aspectos geométricos del conjunto de operadores admisibles de Hartree-Fock-Bogoliubov [1] definido de la siguiente forma \[ \mathfrak{A}:= \left\lbrace  \Gamma = \begin{pmatrix} \gamma & \alpha \\ \alpha^* & 1 - \overline{\gamma} \end{pmatrix} \in \mathcal{B}( \mathcal{K})  :  \gamma = \gamma^* \in \mathfrak{S}_1  \alpha^\top = - \alpha,  \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \leq \Gamma \leq \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}  \right\rbrace.\] Para entender la geometría de $\mathfrak{A}$ estudiamos el siguiente grupo de Lie-Banach

\[ \mathcal{U}_{res,U_0}: = \lbrace W \in \mathcal{U}( \mathcal{K}) \cap \mathcal{B}_{res}:  WU_0 = U_0W \rbrace\] donde $U_0 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$, $\mathcal{U}( \mathcal{K})$ es el conjunto de operadores unitarios en $\mathcal{K}$ y $\mathcal{B}_{res}$ es el álgebra restringida en $\mathcal{K}$ dada por operadores acotados cuya codiagonal es de Hilbert-Schmidt. Usando la acción de $\mathcal{U}_{res,U_0}$ en $\mathfrak{A}$ dada por \[ W \cdot \Gamma = W \Gamma W^*\] vemos que cada órbita $\mathcal{U}_{res,U_0} \cdot \Gamma$ admite una estructura de variedad simpléctica y son hojas simplécticas de un espacio de Banach Lie-Poisson. En dichas pruebas seguimos las técnicas desarrolladas en [2].

Bibliografía

[1] V. Bach, E.H. Lieb, J.P. Solovej, Generalized Hartree-Fock Theory and the Hubbard Model, J. Stat. Phys. 76 (1994), 3--90.

[2] D. Belti\c{t}$\breve{\text{a}}$, T. S. Ratiu, A. B. Tumpach, The restricted Grassmannian, Banach Lie-Poisson spaces, and coadjoint orbits, J. Funct. Anal. 247 (2007), no. 1, 138--168.

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La condición de la avaricia en aproximación

Pablo Manuel Berna Larrosa (Universidad Autónoma de Madrid, pmbl1991@gmail.com)

Dada una base $(e_n)_n$ en un espacio de Banach, el algoritmo avaricioso $(G_m)_m$ se define de la siguiente forma: dado un elemento $x=\sum_n a_n e_n$ y $m\in\mathbb N$, $G_m(x)=\sum_{n\in A}a_n e_n$, donde $A$ tiene cardinal $m$ y verifica la condición \[ \min_{n\in A}\vert a_n\vert \geq \max_{n\not\in A}\vert a_n\vert.\] En el estudio de este algoritmo, nos centraremos en el comportamiento del párametro de Lebesgue asociado $\mathbf L_m$, donde \[ \mathbf L_m :=\sup_{x\neq 0}\dfrac{\Vert x-G_m(x)\Vert}{\sigma_m(x)},\] con $\sigma_m(x)$ es el mejor error de aproximación de orden $m$.

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La integral fraccionaria entre espacios de Lebesgue débiles y espacios integrales de tipo Lipschitz pesados con exponente variable

Marisa Toschi (IMAL (CONICET-UNL) - FHUC (UNL), marisatoschi@gmail.com); Mauricio Ramseyer (IMAL (CONICET-UNL) - FIQ (UNL), mramseyer@santafe-conicet.gov.ar); Estefanía Dalmasso (IMAL (CONICET-UNL) - FIQ (UNL), dafnedalm@gmail.com)

Sean $\mathcal L_{\alpha,p(\cdot),w}(\mathbb R^n)$ los espacios Lipschitz pesados con exponente variable, definidos como una generalización a los espacios dados en [2].

Estudiamos las estimaciones del operador integral fraccionaria $I_\alpha$ entre espacios de Lebesgue débiles de exponente variable $L^{p(\cdot),\infty}_w$ y $\mathcal L_{\alpha,p(\cdot),w}(\mathbb R^n)$, donde las clases de pesos se corresponden con aquellas definidas en [1] en el contexto de espacios de Lebesgue clásicos. Planteamos aquí los problemas que surgen al generalizar los resultados existente.

Bibliografía

[1] Harboure, E., Salinas, O., and Viviani, B. Boundedness of the fractional integral on weighted Lebesgue and Lipschitz spaces. Trans. Amer. Math. Soc. 349, 1 (1997), 235-255.

[2] Ramseyer, M., Salinas, O., and Viviani, B. Lipschitz type smoothness of the fractional integral on variable exponent spaces. J. Math. Anal. Appl. 403, 1 (2013), 95-106.

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Marcos duales oblicuos aproximados en espacios invariantes por traslaciones

Jorge Pablo Díaz (IMASL, UNSL-CONICET, jpdiaz1179@gmail.com); Sigrid Heineken (IMAS, UBA-CONICET, sheinek@dm.uba.ar); Patricia Morillas (IMASL, UNSL-CONICET, morillas.unsl@gmail.com)

Los marcos duales oblicuos [1, 2] son una generalización de los marcos duales. A diferencia de los marcos duales no están restringidos a pertenecer al mismo espacio que los marcos originales. Permiten representaciones redundantes en donde los elementos que se usan para el análisis y los que se usan para la síntesis pertenecen a subespacios distintos. En las aplicaciones, se suele trabajar con duales oblicuos que no son exactos. Por otro lado, si suponemos que estos subespacios están fijos, en algunos casos puede haber un único marco dual oblicuo. Este marco dual oblicuo puede no tener propiedades buenas, o puede ser difícil de construir, lo cual motiva la necesidad de tener más libertad en su construcción. Por eso introdujimos el concepto de marcos duales oblicuos aproximados en espacios de Hilbert separables y estudiamos sus propiedades.

En base a esta definición, en este trabajo se estudian marcos de trasladadas duales oblicuos aproximados para subespacios de $L^2(\mathbb{R})$. Usando una expresión para la transformada de Fourier de la proyección oblicua cuando los subespacios son invariantes por traslaciones, se dan condiciones sobre los generadores de estos subespacios para la existencia de marcos duales oblicuos aproximados.

Referencias:

[1] Y.C.Eldar, “Sampling with arbitrary sampling and reconstruction spaces and oblique dual frame vectors”, J. Fourier Anal. Appl., 9(1) :77-96, 2003.

[2] O. Christensen, Y.C. Eldar, “Oblique dual frames and shift-invariant spaces”, Appl. Comput. Harmon. Anal., 17 :48-68, 2004.

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Marcos weaving y operadores

Pablo Calderón (UNLP / IAM - CONICET, pablocalderon1705@gmail.com); Mariano Ruiz (UNLP / IAM - CONICET, mruiz@mate.unlp.edu.ar)

Un problema estudiado en el contexto de procesamiento de señales es el de reconstruir una señal a partir de mediciones obtenidas mediante redes de sensores. Para ello, se buscan condiciones sobre los sensores para que la reconstrucción sea posible, sin importar cuáles de los sensores se utilizan para la medición. En 2015, Bemrose, Casazza, Gröchenig, Lammers y Lynch [1], definieron la noción de woven, que se relaciona con este problema.

Dada una familia de marcos $\{\phi_{ij}\}_{i\in I,j\in [M]}$ y una partición $\{\sigma_j\}_{j\in [M]}$ de $I$, se llama weaving a la familia de vectores que se forma al considerar el conjunto $\{\psi_{ij}\}_{i\in \sigma_j,j\in [M]}$. Si cada weaving es un marco, se dice que la familia es débilmente woven. Más aún, si admite cotas de marco uniformes para todo weaving se dice que es woven.

Entre otros resultados, Bemrose et al. mostraron, en el caso de que la familia esté formada por dos marcos, que ser débilmente woven implica woven. En esta charla comentaremos algunos resultados obtenidos usando técnicas de Teoría de Operadores [2] que forman parte de un trabajo en proceso, así como también, problemas abiertos en esta clase de marcos.

Bibliografía

[1] T.Bemrose, P.Casazza, K.Gröchenig, M. Lammers, R.Lynch , Weaving frames. Operators and Matrices, 10:1093-1116, 2016.

[2] J. Antezana , G. Corach, M. Ruiz, D. Stojanoff , Nullspaces and frames. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 309:709-723, 2005.

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Maximal fraccionaria local y condiciones ``log bumps''

Mauricio Ramseyer (IMAL (UNL-CONICET) - FIQ (UNL), mramseyer@santafe-conicet.gov.ar); Marisa Toschi (IMAL (UNL-CONICET) - FHUC (UNL), mtoschi@santafe-conicet.gov.ar); Oscar Salinas (IMAL (UNL-CONICET) - FIQ (UNL), salinas@santafe-conicet.gov.ar)

Sea $X$ un espacio métrico con la propiedad de homogeneidad débil y $\Omega$ un subconjunto propio abierto de $X$. Para una familia de bolas bien metidas en cierto sentido en $\Omega$, $\mu$ una medida de Borel duplicante sobre dicha familia y $0 \leq \gamma < 1$, consideramos el operador Maximal Fraccionario local $M^{\gamma}_{\beta}$ asociado a $\mathcal{F}_{\beta}$, introducido en $[1]$, definido como \begin{equation*} M^{\gamma}_{\beta} f(x)=\sup_{B \in \mathcal{F}_\beta, \,x \in B} \frac{1}{\mu(B)^{1-\gamma}} \int_{B} |f(y)|\,d\mu(y) \,, \end{equation*} para toda $f \in L^1_{\text{loc}}(\Omega)$ y todo $x \in \Omega$.

Siguiendo las ideas vistas en $[2]$, para valores pequeños de $\beta$ es posible ver este problema en el contexto de los espacios de tipo homogéneo. Se expondrán entonces, los avances desarrollados sobre la acotación con dos pesos de dicho operador en ETH, bajo condiciones suficientes sobre los mismos, generalizando en algunas direcciones trabajos existentes. Además, como corolario, estudiamos los operadores integrales fraccionarios probando una desigualdad de tipo Welland en este contexto.



\small Referencias

$[1]$- Harboure, E.; Salinas, O. y Viviani, B. “Local maximal function and weights in a general setting”. Math. Ann. 358(3-4): 609--628, 2014.

$[2]$- Eleonor Harboure, E.; Salinas, O. y Viviani B. “Local fractional and singular integrals on open subsets”. Math. Ann.

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Mayorización y cociente de Rayleigh-Ritz de matrices autoadjuntas.

Pedro Massey (CMaLP, FCE-UNLP, IAM-CONICET, massey@mate.unlp.edu.ar); Demetrio Stojanoff (CMaLP, FCE-UNLP, IAM-CONICET, demetrio@mate.unlp.edu.ar); Sebastián Zárate (CMaLP, FCE-UNLP, IAM-CONICET, seb4.zarate@gmail.com)

En este trabajo obtenemos cotas a priori, a posteriori y mixtas para el cociente de Rayleigh- Ritz de matrices autoadjuntas en términos de mayorización.

En concreto, sea $A\in \mathcal{M}_d(\mathbb{C})$ una matriz autoadjunta y $\mathcal{X},\mathcal{Y}\subset \mathbb{C}^d$, dos subespacios con $\dim(\mathcal{X})=\dim(\mathcal{Y})=k$.

Si $X, Y\in \mathbb{C}^{d\times d}$ son las matrices cuyas columnas son b.o.n's de $\mathcal{X}, \mathcal{Y}$, y $\lambda(A)\in \mathbb{R}^d$ denota el vector de autovalores de $A$, contando multiplicidades y ordenado de forma no creciente, i.e. $\lambda_1(A)\geq ...\geq \lambda_d(A)$, estimaremos $|\lambda(X^*AX)-\lambda(Y^*AY)|$ en términos de los ángulos entre $\mathcal{X}$ y $\mathcal{Y}$ (estimaciones a priori).

También haremos estimaciones de $|\lambda(X^*AX)-\lambda(Y^*AY)|$ mediante residuos de la forma $R_X=AX-P_{\mathcal{X}}AX$ (estimaciones a posteriori).

Obtendremos además estimaciones que involucran los ángulos entre $\mathcal{X}$ e $\mathcal{Y}$ y normas de residuos (cotas mixtas).

Algunos de los resultados que daremos resuleven conjeturas recientes planteadas por Knyazev, Argentati y Zhu, que extienden resultados unidimensionales conocidos al contexto de subespacios. En consecuencia, obtenemos cotas a posteriori de orden cuadrático para el cociente de Rayleigh-Ritz de matrices autoadjuntas.

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Medidas de soporte prefijado y dimension de regularidad (Assouad) arbitraria.

Leandro Zuberman (Centro Marplatense de Investigaciones Matematicas (CEMIM)-UNMdP y CONICET, leandro.zuberman@gmail.com); Kathryn Hare (University of Waterloo, kehare@uwaterloo.ca); Franklin Mendivil (Acadia University, franklin.mendivil@acadiau.ca)

Una hipótesis muy general y difundida para la suavidad de una medida es la llamada condición de duplicación. Una condición que refina o da más información es la condición de regularidad. Decimos que $\mu$ es regular si existe una constante $C$ y un exponente $t$ que para cualquier factor $\Lambda >1$, verfican: \[ \mu(B(x,\Lambda R)\leq C \Lambda^t\mu(B(x,R)).  \  \  (1)\] El menor $t$ que verifica esta condición se conoce como la dimensión de regularidad o de Assouad de la medida. Volverg y Konyagin probaron que, igual que en el caso de la dimensión de Hausdorff, hay una relación entre la dimensión de Assouad de una medida y la de su soporte: \( \dim_A (\mu)\geq \dim_A(supp(\mu)). \)

En este trabajo demostramos que si $E$ es un subconjunto compacto de la recta real con dimensión de Assouad positiva y $t >\dim_A(E)$ (ó $t=\infty$), hay una medida soportada en $E$ con dimensión de Assouad $t$. Además exhibimos ejemplos que muestran que la hipótesis de positividad en la dimensión no puede removerse, incluso cuando el conjunto es infinito.

El mayor $t$ para el cual se verifica la desigualdad opuesta a (1) se llamada la dimensión inferior de $\mu$ y es menor o igual que la dimensión inferior de su soporte, como probaron Bylund y Gudayol. Por último mostramos que si, además, la dimensión inferior de $E$ es positiva, dados números $s$ y $t$ con $0< s< \dim_L(E)$ y $\dim_A(E)< t$ hay una medida $\mu$ soportada en $E$ con $\dim_L(\mu)=s$ y $\dim_A(\mu)=t$.

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Mejores Aproximantes Polinomiales para métricas no diferenciables

Rosa Alejandra Lorenzo (Universidad Nacional de San Luis-IMASL, rlorenzo@unsl.edu.ar); Sergio Favier (Universidad Nacional de San Luis-IMASL, sergio.favier@gmail.com); Sonia Acinas (Universidad Nacional de La Pampa, sonia.acinas@gmail.com)

Sea $\Phi$ la clase de todas las $N$-funciones $\varphi: [0,\infty)\rightarrow [0,\infty)$. Sea $\Omega$ un subconjunto medible y acotado de $\mathbb{R}^{n}$. Para cada $\varphi\in\Phi$, definimos el espacio de las funciones medibles Lebesgue $f$ definidas sobre $\Omega.$
\[ L^{\varphi}(\Omega)=\{ f \mbox{medibles}: \int_{\Omega}\varphi(\lambda|f(x)|)dx< \infty, \mbox{para algún}\;\lambda >0\},\] donde $dx$ es la medida de Lebesgue sobre $\mathbb{R}^{n}.$
Dada una función $f \in L^{\varphi}(\Omega)$, definimos como $\mu_{\varphi}(f)$, el conjunto de mejores aproximantes por polinomios a la función $f$. Es decir, un polinomio $P$ es un mejor aproximante de $f$ si y sólo si, se cumple \begin{equation*} \int_{\Omega}\varphi(|f(x)-P|)dx=\inf_{Q\in\Pi^{m}}\int_{\Omega}\varphi(|f(x)-Q|)dx, \end{equation*} donde $\Pi^{m}$ es el espacio de los polinomios algebraicos, definidos sobre $\mathbb{R}^{n}$ de grado a lo sumo $m$ y tal que $\Pi^{m}\subset L^{\varphi}(\Omega).$
En este trabajo demostramos la siguiente caracterización de $\mu_{\varphi}(f),$
$P \in \mu_{\varphi}(f)$ si y sólo si se satisfacen ambas desigualdades \begin{equation*} \int_{\Omega\cap\{f>P\}}\varphi^{-}(|f-P|)Qdx\leq\int_{\Omega\cap\{f\leq P\}}\varphi^{+}(|f-P|)Qdx \end{equation*} \begin{equation*} \int_{\Omega\cap\{f<P\}}\varphi^{-}(|f-P|)Qdx\leq\int_{\Omega\cap\{f\geq P\}}\varphi^{+}(|f-P|)Qdx \end{equation*} donde $\varphi^{+}$ y $\varphi^{-}$ son la derivada por derecha y por izquierda respectivamente de $\varphi$. Lo anterior resulta una extensión del trabajo de Acinas, Favier y Zó [AFZ], ya que ellos caracterizan el operador $\mu_{\varphi}(f)$ para una $\varphi$ de características similares a las nuestras pero con la condición extra de que sea de clase $C^{1}[0,\infty)$.

Por último, extendemos la definición en forma continua del operador para funciones de $L^{\varphi^{+}}(\Omega)$. Dicha extensión fue considerada en [AFZ] y también en [C] en situaciones particulares. La no diferenciabilidad requerida a $\varphi$ hizo necesaria la utilización de técnicas diferentes para la demostración de existencia.

Bibliografía

[AFZ] S. Acinas, S. Favier, F.Zó, Extended Best Polinomial Approximation Operator in Orlicz Spaces. Numerical Functional Analysis and Optimization, 36(7): 817-829, 2015.

[C] H.Cuenya, Extension of the operator of best polynomial approximation in $L^p(B)$. J. Math. Anal. Appl., 376: 565-575, 2011.

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Muestreo dinámico para operadores que conmutan con traslaciones enteras

Alejandra Aguilera (Universidad de Buenos Aires - IMAS CONICET, aaguilera@dm.uba.ar); Carlos Cabrelli (Universidad de Buenos Aires - IMAS CONICET, cabrelli@dm.uba.ar); Diana Carbajal (Universidad de Buenos Aires - IMAS CONICET, dcarbajal@dm.uba.ar); Victoria Paternostro (Universidad de Buenos Aires - IMAS CONICET, vpater@dm.uba.ar)

El problema del Muestreo Dinámico (Dynamical Sampling) consiste en recuperar una señal que evoluciona con el tiempo a partir de muestras espacio-temporales. Se supone que las muestras espaciales re\-gis\-tra\-das en cada ins\-tan\-te de tiempo son insuficientes para recuperar la señal, lo que hace necesario muestrear varias veces en el tiempo.

Matemáticamente, una manera de expresar el problema anterior es la siguiente: dado $\mathcal{H}$ un espacio de Hilbert separable y $T:\mathcal{H}\rightarrow\mathcal{H}$ un operator lineal y acotado (operador de evolución), encontrar un conjunto $\mathcal{F} = \{f_i : i \in I\} \subset\mathcal{H}$ tal que $\{T^{k}f_i : i \in I, k \in K\}$ es una base o un frame para $\mathcal{H}$, donde $I$ y $K$ son subconjuntos de $\mathbb{N}\setminus\{0\}$.

El problema en el caso finito-dimensional fue resuelto completamente. Por ejemplo, si $A\in \mathbb{C}^{d\times d}$ es una matriz diagonalizable, y $l_i$ es finito entonces $\{A^{n}f_{i}: i\in I, n=0,...,l_i\}$ es un frame de $\mathbb{C}^d$ si y solo si para cada proyección $P$ sobre un autoespacio de $A$ se tiene que $\{Pf_i\}_{i\in I}$ es completo en $P(\mathbb{C}^{d})$.

En esta charla presentaremos el problema de muestreo dinámico para una clase de operadores que conmutan con traslaciones enteras (vectores), que actúan en un subespacio invariante por traslaciones finitamente generado $V$ de $L^{2}(\mathbb{R}^{d})$ . Encontramos condiciones sobre un operador $L:V\rightarrow V$ y sobre un conjunto $\{f_{1},...,f_{m}\}\subset V$, para que la familia \[ \{T_{k}L^{j}f_{i}: k\in\mathbb{Z}^{d}, j=1,...,n-1,i=1,...,m\}\] sea un frame para $V$.

La idea consiste en asociarle al operador $L$ una familia de operadores $\{R(\omega)\}_{\omega\in[0,1)^{d}}$ definidos en espacios de dimensión finita y luego combinar un teorema de diagonalización con los resultados existentes para el problema de muestreo dinámico finito-dimensional. Sin embargo, estos resultados no pueden ser aplicados directamente pues necesitamos uniformidad en las cotas de frame de la familia $\{R(\omega)\}_{\omega\in[0,1)^{d}}$, con el objetivo de trasladar ciertas propiedades al operador $L$.

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Pesos para la acotación de ciertos operadores fraccionarios

Gonzalo Ibañez Firnkorn (FAMAF - CIEM, gonzaibafirn@gmail.com)

Sean $0\leq\alpha< n$ y $A$ una matriz invertible. Consideremos el operador maximal, \[ M_{\alpha,A^{-1}}f(x)=M_{\alpha}f(A^{-1}x).\] Este operador esta acotado de $L^p(w^p)$ en $L^{q,\infty}(w^q)$ si y solo si $w\in \mathcal{A}_{A,p,q}$, donde $\mathcal{A}_{A,p,q}$ es una clase de pesos que depende de la matriz $A$. En cambio, $M_{\alpha,A^{-1}}$ esta acotado de $L^p(w^p)$ en $L^q(w^q)$ si y solo si el peso $w$ cumple una condición de tipo testing.

Luego, con estas condiciones para los pesos se prueba la acotación $L^p(w^p)\to L^q(w^q)$ para operadores definidos de la siguiente forma: Sean $A_1,A_2$ matrices invertibles tales que $A_1-A_2$ son invertibles, definimos $T$ por \[ Tf(x)=\int_{\mathbb{R}^n}k_1(x-A_1y)k_2(x-A_2y)f(y)dy,\] donde cada $k_i$, $1\leq i\leq 2$, cumple condiciones fraccionarias de tamaño y regularidad.

Para los casos $A_2=A_1^{-1}$ o $A_1=-I$ y $A_2=I$, obtenemos que el operador $T$ esta acotado de $L^p(w^p)$ en $L^q(w^q)$, con $k_i(z)=|z|^{-\alpha_i}$, $\alpha_1+\alpha_2=n-\alpha$ si y solo si $w\in \mathcal{A}_{A_1,p,q}\cap \mathcal{A}_{A_2,p,q}$, generalizando el resultado probado en [1] donde se estudia el caso de pesos potencias y las matrices $A_1=-I$ y $A_2=I$.

Bibliografía

[1] Ferreyra, E. V., Flores, G. J. (2019). {Weighted inequalities for integral operators on Lebesgue and {$ BMO^{\gamma}(\omega)$} spaces.} Collectanea Mathematica, 70(1), 87-105.

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Problemas de distancias al operador de marco

Pedro Massey (CMaLP-FCE-UNLP / IAM-CONICET, pedro.massey@gmail.com); Noelia Belén Rios (CMaLP-FCE-UNLP / IAM-CONICET, noebelen83@gmail.com); Demetrio Stojanoff (CMaLP-FCE-UNLP / IAM-CONICET, demsto@gmail.com)

Sean $S$ una matriz positiva en $\mathbb C^{d\times d}$ y $\mathbf{a}=(a_i)_{i=1}^k$ un vector de entradas reales positivas ordenado de manera no creciente. Vamos a considerar el producto (cartesiano) de esferas \[ \mathbb{T}_{d}(\mathbf{a}) := \{ \mathcal G=\{g_i\}_{i=1}^k \in (\mathbb C^d)^{k}  : \left\|g_{i}\right\|^2=a_i, \,\, \forall i=1,\cdots, k\}\,. \] dotado con la siguiente métrica \[ d(\mathcal G,\tilde{\mathcal G})^2= \sum_{i=1}^k\|g_i-\tilde g_i\|^2 \quad\text{para}\quad \mathcal G=\{g_i\}_{i=1}^k,\, \tilde {\mathcal G}=\{\tilde g_i\}_{i=1}^k\in \mathbb{T}_{d}(\mathbf{a})\,.\]

Luego, fijando la matriz $S$ y el vector $\mathbf{a}=(a_i)_{i=1}^k$ como antes y considerando una norma unitariamente invariante y estrictamente convexa $N$, definimos la distancia al operador de marco como la función $\Phi_{(N,S,a)}=\Phi_N:\mathbb{T}_{d}(\mathbf{a})\rightarrow \mathbb R_{\geq 0}$ dada por \[ \Phi_N(\mathcal G)=N(S-S_{\mathcal G}), \] donde $S_{\mathcal G}=\sum_{i=1}^k g_i \, g^*_i$ es el operador de marco de la familia $\mathcal G$. Cuando la norma $N$ elegida es "suave", como en el caso de las normas $p$ de Schatten, se puede utilizar algoritmos de tipo de descenso en la dirección del gradiente para hallar (o aproximar) los mínimos de esta función. Considerando un algoritmo de este tipo y siendo $N$ la norma Frobenius de matrices, N. Strawn conjeturó en [S.] que (bajo ciertas hipótesis de mayorización) los minimizadores locales de $\Phi_N$ en $\mathbb{T}_{d}(\mathbf{a})$ son minimizadores globales. La veracidad de esta conjetura fue probada recientemente como una aplicación de un problema de completaciones de marcos con normas predeterminadas, aún en términos más generales que los planteados por Strawn.

En esta charla mostraremos que para $N$ una norma unitariamente invariante y estrictamente convexa cualquiera, los minimizadores locales de $\Phi_N$ en $\mathbb{T}_{d}(\mathbf{a})$ son globales, utilizando como herramienta principal una versión local del Teorema de Lidskii para matrices autoadjuntas, que será clave para obtener de manera detallada la estructura geométrica y espectral de los minimizadores locales. En particular, veremos que las familias de vectores con normas predeterminadas que minimizan estas distancias al operador de marco, no dependen de la norma unitariamente invariante elegida. Cabe destacar que este resultado incluye una prueba alternativa de la conjetura de Strawn.

.3cm

  • MRS. P. Massey, N. Rios, D. Stojanoff; Generalized frame operator distance problems, Journal of Mathematical Analysis and Applications (2019), aceptado para su publicación.
  • S. N. Strawn; Optimization over finite frame varieties and structured dictionary design, Appl. Comput. Harmon. Anal. 32 (2012) 413-434.

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    Propiedad N de Lusin en espacios métricos de medida

    Marcela Garriga (Universidad Nacional de Cuyo, marcegarriga@gmail.com); Pablo Ochoa (Universidad Nacional de Cuyo, ochopablo@gmail.com)

    El trabajo se enfoca básicamente en el estudio de la propiedad N de Lusin en espacios métricos de medida. Una función satisface la propiedad mencionada si a conjuntos de medida cero se asignan conjuntos de medida cero. Esta propiedad tiene un rol importante en la aplicación de la fórmula de área o cambio de variables. En principio, la fórmula de cambio de variables puede obtenerse para aplicaciones que pueden aproximarse convenientemente, en el sentido de Lusin, por aplicaciones Lipschitz. Cuando esta aproximación es válida para la transformación bajo estudio, la fórmula de cambio de variables puede obtenerse. Sin embargo, es muy común que existan transformaciones que presentan la anterior aproximación salvo en un conjunto de medida nula. Cuando esto ocurre, es necesario disponer de una propiedad que permita eliminar el conjunto de medida nula donde no se dispone de la aproximación. Este es precisamente el efecto de la propiedad de Lusin.

    El objetivo fundamental de este trabajo es probar una nueva condición suficiente para la propiedad de Lusin en el contexto de espacios métricos de medida. Se propone una nueva condición para dicha propiedad utilizando una estimación tipo Lipschitz débil y puntual. Se prueba que esta nueva propiedad, denominada L, implica que existe una descomposición de la transformación por mapeos Lipschitz y, por lo tanto, la propiedad de Lusin se cumple. Además, se estudian y se proporcionan relaciones entre la propiedad L con otras condiciones suficientes vinculadas a la condición de Lusin. Para finalizar, se propone una fórmula de área en el contexto de espacios métricos de medida.

    Referencias

    [1] E. Durand-Cartagena, L. Ihnatsyeva, R. Korte and M. Szumańska, On Whitney-type characterization of approximate differentiability on metric measure spaces, Canad. J. Math. 66 (2014), no. 4, 721–742.

    [2] H. Federer, Geometric measure theory, Springer-Verlag, Berlín, 1969.

    [3] M. Garriga and P. Ochoa, N-Lusin property in metric measure spaces: A new sufficient condition, Forum Mathematicum, 30 (2018), no 2, 1475-1486.

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    Propiedades geométricas en la esfera y el espacio proyectivo asociado a una $C^*$-álgebra con un estado fiel.

    Andrea Carolina Antunez (Univ. Nac. de General Sarmiento, Univ. Austral , aantunez@ungs.edu.ar)

    { Sean $\mathcal{A}$ una $C^*$-álgebra unital, $1$ unidad en $\mathcal{A}$ y $\varphi:\mathcal{A}\rightarrow \mathbb{C}$ un estado fiel sobre $\mathcal{A}$. Definimos la esfera en $\mathcal{A}$ asociada a $\varphi$ como el conjunto: \[ S_\varphi:= \{x\in \mathcal{A}: \varphi (x^* x)=1\}\] Luego, el espacio proyectivo de $\mathcal{A}$ se define por el cociente $ \mathbb{P}_\varphi=\mathbb{S}_\varphi / \sim$ donde $x\sim x'$ si existe $\lambda\in \mathbb{C}, |\lambda|=1$ tal que $x'=\lambda x$.

    En el presente trabajo, se mostrarán algunas características geométricas particulares de estos conjuntos como variedades diferenciales infinito dimensionales y como espacios homogéneos del grupo de operadores \[ U_\varphi(\mathcal{A})=\{G\in Gl(\mathcal{A}): \varphi((Gx)^*Gy)=\varphi(x^*y)\}\] bajo la acción $\pi(G,x)= G(x)$, $G\in U_\varphi(\mathcal{A})$. Un operador acotado $T: \mathcal{A}\rightarrow \mathcal{A}$ es adjuntable si existe $T^\sharp: \mathcal{A}\rightarrow \mathcal{A}$ acotado tal que $\varphi((Tx)^*y)=\varphi(x^*(T^\sharp y).$ Por lo cual, $G\in U_\varphi(\mathcal{A})$ si y sólo si $G^\sharp=G^{-1}$. En particular, $U_\varphi(\mathcal{A})$ es un grupo de Lie-Banach. Estos operadores juegan un rol importante en el estudio de operadores en espacios de Banach con dos normas, desarrollada inicialmente por M.G. Krein [1] y P. Lax [2].

    Definiremos una métrica en $\mathbb{P}_\varphi$ y la analizaremos usando algunos hechos conocidos del estudio de variedades Grassmanianas infinito-dimensionales (ver [3]). En particular, probaremos la existencia de geodésicas minimales, tanto con datos iniciales dados como con puntos extremales fijos. \[ \] Referencias:

    1. 1 ] Krein M. G., Compact linear operators on functional spaces with two norms, Translated from the Ukranian (Dedicated to the memory of Mark Grigorievich Krein 1907–1989), Integral Equations Operator Theory 30, 1998, no. 2, 140-162.
    2. 2 ] Lax P. D., Symmetrizable linear transformations, Comm. Pure Appl. Math. 7, 1954, 633-647.
    3. 3 ] Porta H., Recht L., Minimality of geodesics in Grassmann manifolds, Proc. Amer. Math. Soc. 100, 1987, no. 3, 464-466.

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    Regularidad de las transformadas de Riesz asociadas al operador de Schr\"odinger.

    Pablo Quijano (Instituto de Matemática Aplicada del Litoral, pabloquijano@hotmail.com.ar); Bruno Bongioanni (Instituto de Matemática Aplicada del Litoral, bbongio@santafe-conicet.gov.ar); Eleonor Harboure (Instituto de Matemática Aplicada del Litoral, harbour@santafe-conicet.gov.ar)

    Sea $L=-\Delta + V$, un operador de Schrödinger , en $\mathbb{R}^d$ para $d\geq 3$ con el potencial $V$ en una clase reverse-Hölder de orden $q$ para $q >d/2$. A partir del trabajo de Z. Shen del año 1995 ([Shen]), se han obtenido diversos resultados sobre la acotación de las transformadas de Riesz asociadas a $L$ en diversos espacios de tamaño y regularidad.

    Si $\beta\ge 0$, siguiendo los trabajos [BMO-Schr-Dziub-Garr-Mar-Torr-Zienk] y [BmoLpw], definimos el espacio $BMO^\beta_{L}$, como el conjunto de las funciones localmente integrables $f$ que satisfacen $\displaystyle \int_B |f-f_B| \leq C_1 \,|B|^{1+\beta/d}$ para toda bola $B$, y $\displaystyle \int_B |f| \leq C_2 \,|B|^{1+\beta/d}$, si $B=B(x,R)$ y $R\ge\rho(x)$, con $C_1$ y $C_2$ independientes de $B$, donde $f_B=\frac{1}{|B|}\int_B |f|$, y $\rho$ es la función de radio crítico definida por \[ \rho(x)=\sup\left\{r >0:\ \frac{1}{r^{d-2}}\int_{B(x,r)} V \leq 1\right\}.\]

    En nuestro trabajo obtenemos un resultado general de continuidad en espacios de tipo $BMO^\beta_L$ pesados para una familia de operadores semejante a la de Calderón y Zygmund aunque adaptada al contexto del operador de Schrödinger. Mostraremos algunos ejemplos de operadores asociados a ${L}$ que pertenecen a esta familia con la hipótesis mínima de reverse-Hölder para $V$ y otros donde es necesario introducir condiciones más restrictivas sobre el potencial.

    Bibliografía

    [BMO-Schr-Dziub-Garr-Mar-Torr-Zienk] J. Dziubanski, G. Garrigós, T. Martínez, J. Torrea y J. Zinenkiewicz, $BMO$ spaces related to {S}chrödinger operators with potentials satisfying a reverse {H}ölder inequality, Math. Z., vol. 249, no. 2 (2005), p. 329-356.

    [BmoLpw] B. Bongioanni, E. Harboure y O. Salinas. Weighted inequalities for negative powers of Schrödinger operators, J. Math. Anal. Appl., vol. 348, no. 1 (2008), p. 12-27.

    [Shen] Z. Shen. $L^p$ estimates for Schrödinger operators with certain potentials. Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 45 (1995).

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    Relación entre integrales singulares y pesos locales

    Federico Augusto Campos (IMAL (CONICET-UNL), fcampos@santafe-conicet.gov.ar); Oscar Salinas (IMAL (CONICET-UNL), FIQ (UNL), salinas@santafe-conicet.gov.ar); Beatriz Viviani (IMAL (CONICET-UNL), FIQ (UNL), viviani@santafe-conicet.gov.ar)

    Se considera en un espacio métrico $(X,\rho )$, un abierto propio $ \Omega \subset X$ y, para cada $\beta \in (0,1)$, una familia de bolas $ \mathcal{F}_{\beta }=\{B(x,r):x\in \Omega ,0< r\leq \beta d(x,\Omega ^{c})\}$ . El conjunto $\Omega $ estará provisto de una medida de Borel $\mu $ duplicante sobre $\mathcal{F}_{\beta }$. Para esta familia se toma la clase de pesos $A_{p}^{\beta }$, con $1< p< \infty $, de funciones $w\in L_{loc}^{1}(\Omega )$ para las cuales

    \begin{equation*} \underset{B\in \mathcal{F}_{\beta }}{\sup }(\frac{1}{\mu (B)}\int_{B}wd\mu )( \frac{1}{\mu (B)}\int_{B}w^{\frac{-1}{p-1}}d\mu )^{p-1}<\infty . \end{equation*}

    Se define $A_{\infty }^{\beta }=\underset{1< p< \infty }{\cup }A_{p}^{\beta }$ . En este contexto se obtienen caracterizaciones de $A_{\infty }^{\beta }$ que usaremos para probar el teorema enunciado abajo. Con este propósito, se tomarán $X=\mathbb{R}^{n}$, $\rho =|\cdot |$, $d\mu =dx$, y se definir án los conjuntos de tipo local \begin{equation*} S_{\beta }(B)=\underset{x\in B}{\cup }B(x,\beta d(x,\Omega ^{c})) \text{ t, }E_{\beta }(B)=\underset{x\in B}{\cap }B(x,\beta d(x,\Omega ^{c})), \end{equation*} para $B\in \mathcal{F}_{\beta }$. Así mismo, introduciremos la clase de pesos $B_{p,\beta }$ ( $1< p< \infty $ ) dada por \begin{equation*} w\in B_{p,\beta } \text{si y sólo si }\underset{B(\xi ,r)\in \mathcal{ ttF}_{\beta }}{\sup }\frac{|B(\xi ,r)|^{p}}{\int_{B(\xi ,r)}w dx} \int_{S_{\beta }(B(\xi ,r))-B(\xi ,r)}w(x)|x-\xi |^{-np}dx<\infty \text{.} \end{equation*} Se estudiarán operadores locales de tipo integral singular de la forma

    \begin{equation*} T_{\beta ,\eta }f(x)=vp\int_{\Omega }K(x,y)\eta (\frac{|x-y|}{\beta td(x,\Omega ^{c})})f(y)dy \text{,} \end{equation*} para $x\in \Omega $ , donde $K$ es un núcleo estándar y $\eta $ una función $\mathcal{C}^{\infty }$ tal que $0\leq \eta \leq 1$ con soporte en $B(0,1)$.



    El resultado principal es el siguiente



    Teorema: Dados $1< p< \infty $ , $0< \beta < 1$, $T_{\beta ,\eta }$ operador de integral singular local, si $w\in A_{\infty }^{\beta }\cap B_{p,\beta }$ entonces existe $C >0$ tal que, para cualquier $f$ que satisface $\frac{f}{w}\in L^{\infty }(\Omega )$, se tiene $\int_{B}|T_{\beta t,\eta }f(x)-m_{B}T_{\beta ,\eta }f| dx\leq C\Vert \frac{f}{w}\Vert _{\infty

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    s-diagonalización de operadores que conmutan con traslaciones enteras

    Alejandra Aguilera (Universidad de Buenos Aires - IMAS CONICET, aaguilera@dm.uba.ar); Carlos Cabrelli (Universidad de Buenos Aires - IMAS CONICET, cabrelli@dm.uba.ar); Diana Carbajal (Universidad de Buenos Aires - IMAS CONICET, dcarbajal@dm.uba.ar); Victoria Paternostro (Universidad de Buenos Aires - IMAS CONICET, vpater@dm.uba.ar)

    En este trabajo estudiamos la estructura de operadores acotados que conmutan con traslaciones enteras actuando sobre un espacio invariante por traslaciones enteras $V\subset L^2(\mathbb{R}^d)$. Para dicho estudio, trabajamos con la función rango $J$ de $V$. Esta es un mapa tal que a cada $\omega\in [0,1)^d$ le asigna el subespacio $J(\omega)$ cerrado de $\ell^2(\mathbb{Z}^d)$ generado por las fibras de $V$ en $\omega$. t tDado $L:V\to V$ un operador acotado que conmuta con las traslaciones enteras, se puede definir lo que se denomina operador rango de $L$. Este es un mapa $R$ tal que a cada $\omega\in [0,1)^d$ le asigna un operador acotado $R(\omega)$ que actúa en $J(\omega)$ y conmuta con modulaciones enteras. t tCuando $V$ es generado por traslaciones enteras de finitas funciones, su función rango en casi todo $\omega\in [0,1)^d$ es un espacio de dimensión finita y en consecuencia $R(\omega)$ es una transformación lineal actuando en un espacio de dimensión finita en casi todo punto. t tExplotando estas propiedades, definimos lo que llamamos s-autovalor y s-autoespacio del operador $L$ y encontramos sus relaciones con los autovalores y autoespacios del operador rango en cada $\omega$. Finalmente, presentamos un nuevo concepto que denominamos s-diagonalización y damos condiciones necesarias y suficientes para que $L$ sea s-diagonalizable en terminos de la diagonalización de su operador de rango. t tEste es un trabajo en conjunto con Alejandra Aguilera Aguilera, Carlos Cabrelli y Victoria Paternostro.

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    Sistemas de dilataciones y series de Dirichlet

    Melisa Carla Scotti (IMAS; UBA-CONICET, meliscotti@gmail.com); Daniel Carando (IMAS; UBA-CONICET, dcarando@gmail.com); Jorge Antezana (UNLP-CONICET, jaantezana@gmail.com)

    Dada una función $\varphi $ de $ L^2 (0,1)$ la pensaremos extendida a toda la recta real de forma impar y con período $2$ y nos dedicaremos a estudiar el sistema de dilataciones $\{\varphi_n\} _n$ dado por $ \varphi_n (x):= \varphi (nx) $ con $n \in \mathbb{N}$. Es un resultado conocido que las únicas bases ortonormales de dilataciones de esta pinta son las que provienen de elegir $\varphi (x)= C \sin (\pi x)$. Por ello, Hedenmalm, Lindqvist y Seip relajaron esta condición y se preguntaron cuándo el sistema $\{\varphi_n\} _n$ es una base de Riesz. Gracias a la idea de Bohr y Beurling relacionaron esta pregunta con el espacio de series de Dirichlet, más precisamente, caracterizaron dicha condición en términos de los multiplicadores de $\mathcal{H}_2$ (el espacio de series de Dirichlet con coeficientes que suman al cuadrado).

    Durante esta charla presentaré algunos resultados que obtuvimos en conjunto con Daniel Carando y Jorge Antezana en este contexto. Más concretamente, contaré que logramos caracterizar cuándo la sucesión $\{\varphi_n \}_n $ es una sucesión de Riez y cuándo una sucesión ortonormal. También que esto nos permitió construir ejemplos de sucesiones ortonormales interesantes que no sean simplemente subsucesiones de $\{C sin (n \pi x) \}_n$.

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    Sobre la Convergencia del Operador de Caputo-Fabrizio al Operador diferencial clásico

    Lucas Venturato (Universidad Austral, LVenturato@austral.edu.ar); Sabrina Roscani (Universidad Austral, sroscani@austral.edu.ar); Domingo Tarzia (Universidad Austral, dtarzia@austral.edu.ar)

    Se introduce un nuevo operador integrodiferencial definido recientemente, denominado derivada fraccionaria de Caputo-Fabrizio, se analizan propiedades particulares del mismo, como así también propiedades análogas a las verificadas por la derivada clásica. Se prueban resultados de distintos tipos de convergencia de la derivada fraccionaria de Caputo-Fabrizio a la derivada clásica cuando el orden de derivación fraccionario tiende a uno, para diferentes espacios de funciones.

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    Sobre los extremos locales en problemas de tipo Procusto en la variedad de matrices positivas

    Mariano Ruiz (UNLP / IAM-CONICET, mruiz@mate.unlp.edu.ar); Noelia Rios (CMaLP-FCE-UNLP / IAM-CONICET, nbrios@mate.unlp.edu.ar); Pablo Calderón (UNLP / IAM-CONICET, pablocalderon1705@gmail.com)

    En el trabajo Procrustes problems in Riemannian manifolds of positive definite matrices de R. Bathia y M. Congedo (Linear Algebra and its Applications 563 (2019) 440 - 445) los autores estudian los mejores aproximantes a una matriz A en la órbita unitaria de B, con A y B en la variedad de las matrices positivas, dotada con diversas métricas y pseudométricas usadas comunmente en teoría de información. En el este trabajo, los autores muestran mediante el empleo de técnicas de análisis matricial (concretamente, las desigualdades de Lidskii y propiedades de la mayorización vectorial), que los mejores aproximantes en la órbita de B conmutan con A. En esta charla mostraremos que, mediante las técnicas empleadas por los autores de esta comunicación en trabajos previos, los resultados de Bathia y Congedo pueden completarse de modo tal de poder caracterizar a los mejores aproximantes locales. Esto es, describir espectralmente a las soluciones locales del problema de minimización de tipo Procusto relacionado al emplear las distintas métricas y pseudométricas. Concretamente, mediante técnicas geométricas aplicadas a los casos de igualdad en las desigualdades de Lidskii, mostramos que los máximos y mínimos locales en la órbita de B (con respecto a ciertas funciones convexas definidas en el espectro) conmutan con A y son, de hecho, extremos globales.

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    Splines interpolantes en espacios de Krein

    Santiago Gonzalez Zerbo ( Instituto Argentino de Matemática “Alberto P. Calderón”, Facultad de Ingeniería de la Universidad de Buenos Aires, sgzerbo@fi.uba.ar); Alejandra Maestripieri ( Instituto Argentino de Matemática “Alberto P. Calderón”, Facultad de Ingeniería de la Universidad de Buenos Aires, amaestri@fi.uba.ar); Francisco Martínez Pería ( Instituto Argentino de Matemática “Alberto P. Calderón”, Centro de Matemática de La Plata, Universidad de La Plata, francisco@mate.unlp.edu.ar)

    Presentaremos el análisis de una generalización a espacios de Krein del problema de interpolación formulado por M. Atteia en espacios de Hilbert, dando lugar así a la noción de splines abstractos indefinidos. Dados un espacio de Hilbert $\mathcal{H}$, y espacios de Krein $\mathcal{K}$ y $\mathcal{E}$, consideremos dos operadores lineales $T:\mathcal{H}\to\mathcal{K}$, y $V:\mathcal{H}\to\mathcal{E}$ (suryectivos). Dado un $z_0\in\mathcal{E}$, nos interesa analizar la existencia del mínimo de la forma cuadrática indefinida \[ G(x) = [Tx,Tx]_\mathcal{K},\quad\text{con la condición}\quad [Vx-z_0,Vx-z_0]_\mathcal{E}=0,\] y en caso de que exista hallar los puntos donde el mínimo es alcanzado. Dada la naturaleza no lineal de la restricción, la minimización debe calcularse sobre un cono desplazado generado por el producto indefinido $[\cdot,\cdot]_\mathcal{E}$.

    A partir de ciertas condiciones, bajo las cuales siempre existe una solución, presentaremos aquí una parametrización del conjunto de splines interpolantes, que en general consiste en una unión de variedades afines. En un caso genérico (en el sentido en que se corresponde con un conjunto abierto y denso de $\mathcal{E}$) este conjunto resulta ser una sola variedad afín. En el resto de los casos, la correspondiente unión de variedades afines se encuentra indexada en relación a un anillo determinado por la norma de un cierto operador, facilitando la interpretación geométrica de la forma de las soluciones.

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    Transformada de Hilbert ergódica múltiple en el sentido Cesàro

    Cecilia Ferrari Freire (Universidad Nacional del Comahue, cferrarifreire@Gmail.com); Raquel Crescimbeni (Universidad Nacional del Comahue, raquel_crescimbeni@yahoo.com.ar)

    Sea $(X,F,\nu)$ un espacio de medida $\sigma$-finito. Dados $T_1, \cdots, T_k$ operadores lineales e invertibles que conmutan entre sí y dado $\overline{\beta}=(\beta_1\cdots,\beta_k)$ con $-1< \beta_i< 0$ para todo $1\leq i\leq k$, se define la transformada de Hilbert ergódica múltiple en el sentido Cesàro como \[ \mathcal{H}_{\bar{\beta}}f(x)=\lim_{\bar{n}\rightarrow\infty} H_{\bar{n},\bar{\beta}}f(x)\] donde $H_{\bar{n}, \bar{\beta}}$ son las truncaciones definidas como \[ \begin{array}{rcl} H_{\bar{n},\bar{\beta}}f(x)&=&H_{n_1,\beta_1}\circ\cdots\circ H_{n_k,\beta_k}f(x)\\ &=&\frac{1}{\prod_{i=1}^kA_{n_i}^{\beta_i}}\sum_{1\leq |j_1|\leq n_1+1}\cdots\sum_{1\leq |j_k|\leq n_k+1}\prod_{i=1}^kA_{n_i+1-|j_i|}^{\beta_i}\frac{T_1^{j_1}\circ\cdots\circ T_k^{j_k}f(x)}{j_1\cdots j_k} \end{array} \] con $\overline{n}=(n_1,\cdots,n_k)$ y $A_n^\beta=\frac{(\beta+1)\cdots(\beta+n)}{n!}$, $n\neq 0$ y $A_0^\beta=1$.

    En este trabajo presentamos resultados sobre existencia de la Transformada de Hilbert ergódica múltiple en el sentido Cesàro, para ello estudiamos el operador maximal ergódico asociado definido como

    \[ H_{\bar{\beta}}^*f=\sup_{n_1,\cdots,n_k\geq 1} |H_{\bar{n},\bar{\beta}}f|\] Bajo ciertas condiciones en los operadores se obtiene que el operador maximal ergódico resulta acotado para funciones de $L^p$ con $p >\frac{1}{1+\beta_*}$, donde $\displaystyle \beta_*=\min_{1\leq j\leq k}\{\beta_j\}$.

    Finalmente, con el resultado obtenido y probando la convergencia puntual de las truncaciones en un subespacio denso de $L^p$ adecuado, se obtiene la existencia de la transformada de Hilbert ergódica múltiple en el sentido Cesàro para toda $f\in L^p$ con $p >\frac{1}{1+\beta_*}$, donde $\displaystyle \beta_*=\min_{1\leq j\leq k}\{\beta_j\}$ con $-1< \beta_i\leq 0$ para todo $1\leq i\leq k$.

    Resultados sobre la existencia de la Transformada de Hilbert en el sentido Cesàro (caso $k=1$) se pueden encontrar en [BM] mientras que en [S] se encuentran resultados sobre la Transformada de Hilbert ergódica (caso $\beta_i=0$ para todo $1\leq i\leq k$). Por otra parte, en [FF] se ha investigado la existencia de la Transformada de Hilbert Doble en el sentido Cesàro.

    \

    Referencias

    [BM] Bernardis, A.L.; Martín-Reyes, F.J.; Sarrión Gavilán, M.D. The Ergodic Hilbert Transform in the Cesàro$-\alpha$ sense for Invertible Lamperti Operators. Quart. J. Math. Oxford (2), 50 (1999), 389-399.

    [FF] Ferrari Freire, C. ; Operadores Asociados a la Convergencia Cesàro Múltiple y Aplicaciones a la Teoría Ergódica. Tesis Doctoral. (2012).

    [S] Sato, R.; On the ergodic Hilbert transform for operators in $Lp$, $1 < p < \infty$ Canad. Math. Bull. 30 (2) (1987), 210-214.

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    Un nuevo concepto de derivada y su aplicación a mejor aproximación local

    Marina Vanesa Roldan (Universidad Nacional de La Pampa - Facultad de Ingeniería, marinaroldan@ing.unlpam.edu.ar); Fabián Eduardo Levis (Universidad Nacional de Río Cuarto - CONICET - FCEFQyN, flevis@exa.unrc.edu.ar); David Eduardo Ferreyra (Universidad Nacional de Río Cuarto - FCEFQyN, deferreyra@exa.unrc.edu.ar)

    Derivadas de orden superior de diferentes tipos fueron consideradas por varios autores a través de los a\ {n}os. Por ejemplo, la $L^p$-derivada se originó en 1961 a partir de un trabajo de A.P. Calderón y A. Zygmund, siendo muy utilizada en los a\ {n}os posteriores. Recientemente en 2015, H. Cuenya y D. Ferreyra dieron un nuevo concepto de suavidad de una función. Más precisamente, ellos introdujeron la condición $C^p$ en $L^p$, que resulta ser más débil que la $L^p$-derivada y dio lugar a un nuevo concepto de derivada para funciones en $L^2$.

    El problema de encontrar el mejor algoritmo para aproximar un conjunto de datos, que resultan de valores de una función y sus derivadas en un conjunto de puntos de muestra, se desarrolla en la teoría de mejor aproximación local. Esta teoría estudia el comportamiento asintótico de las mejores aproximaciones en peque\ {n}as regiones de los puntos de muestreo, y la misma fue desarrollada en 1975 por C.K. Chui, O. Shisha y P.W. Smith, usando la norma del supremo y asumiendo funciones diferenciables en el sentido ordinario. Tiempo después, se extendieron estos resultados a funciones en $L^p$ que tienen $L^p$-derivada, y más recientemente a funciones que satisfacen la condición $C^p$.

    Todos los trabajos mencionados anteriormente, solo dieron condiciones suficientes para la existencia de la mejor aproximación local a una función. En este trabajo presentamos y estudiamos un nuevo concepto de derivada que caracteriza la clase de todas las funciones en $L^2$ para las cuales existe la mejor aproximación local. Además, analizamos la convexidad del conjunto de puntos clausura de la red de mejores $L^2$-aproximaciones a una función sobre un intervalo, cuando la medida de los mismos tienden a cero.

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    Un teorema de Liouville para el operador de Bessel fraccionario

    Sandra Mónica Molina (CEMIN-Universidad Nacional de Mar del Plata, smolina@mdp.edu.ar); Alejandro Quintero (CEMIN-Universidad Nacional de Mar del Plata, aquinter@mdp.edu.ar); Vanesa Giselle Galli (CEMIN-Universidad Nacional de Mar del Plata, vanesagalli@gmail.com)

    Es bien conocida la importancia de los teoremas de tipo Liouville en el contexto del análisis de PDE's. En este trabajo hemos establecido un teorema de este tipo para el operador de Bessel fraccionario estudiado en [2] y [3]. Sea $S_{\mu}$ el operador de Bessel y $(-S_{\mu})^{\alpha}$ la potencia del operador de Bessel de orden $\alpha$, el resultado obtenido establece que si $u$ es una solución distribucional de $(-S_{\mu})^{\alpha}u=0$ donde $\alpha$ es un número complejo que verifica que $\textrm{Re}\:\:\alpha >0$, entonces $u$ es un polinomio. Este resultado extiende el resultado obtenido en [1] para el operador de Bessel análogo al clásico teorema de Liouville para el Laplaciano. \vskip.2in

    [1] V. Galli, S. Molina and A. Quintero, A Liouville theorem for some Bessel Generalized operators, Integral Transforms and Special Functions, Vol. 29, (2018), 367-383.

    [2] S. M. Molina and S.E. Trione, n-Dimensional Hankel transform and complex powers of Bessel operator, Integral Transforms and Special Functions, Vol. 18, No 12, 897-911, (2007).

    [3] S. Molina, Distributional Fractional Powers of similar Operators. Applications to the Bessel Operators, Commun. Korean Math. Soc. 33 (2018), No. 4, pp. 1249-1269.

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    Versiones locales del teorema de Bishop-Phelps-Bollobás

    Sheldon Dantas (Department of Mathematics, Faculty of Electrical Engineering, Czech Technical University in Prague, gildashe@fel.cvut.cz); Sun Kwang Kim (Department of Mathematics, Chungbuk National University, Republic of Korea, skk@chungbuk.ac.kr); Han Ju Lee (Department of Mathematics Education, Dongguk University - Seoul, Republic of Korea, hanjulee@dongguk.edu); Martin Mazzitelli (Instituto Balseiro-UNCuyo, mazzimd@gmail.com)

    E. Bishop y R. Phelps demostraron en [BP] que para cualquier espacio de Banach $X$, el conjunto de las funcionales lineales y acotadas que alcanzan su norma es un subconjunto denso en $X^*$, el espacio dual de $X$. Pocos años después, Bollobás presentó en [Boll] una versión cuantitativa de este resultado, conocida hoy en día como el teorema de Bishop-Phelps-Bollobás. Este teorema afirma que, dado $\varepsilon >0$, existe $\eta(\varepsilon) >0$ tal que si $x^* \in S_{X^*}$ y $x \in S_X$ (aquí, $S_Z$ denota la esfera unitaria de un espacio de Banach $Z$) satisfacen \[ \vert x^*(x)\vert > 1-\eta(\varepsilon),  \  \  (1)\] entonces existen $y^* \in S_{X^*}$ e $y \in S_X$ tales que $y^*(y)=1$, $\Vert y - x \Vert < \varepsilon$ y $\Vert y^* - x^*\Vert < \varepsilon$. Es decir, si $x^* \in S_{X^*}$ casi alcanza su norma en $x\in S_X$, se pueden encontrar $y \in S_{X^*}$ e $y\in S_X$ tales que $y^*$ alcanza su norma en $y$ con $y$ cerca de $x$ y con $y^*$ cerca de $x^*$.

    Recientemente [DKL] se estudiaron dos versiones ligeramente distintas del teorema de Bishop-Phelps-Bollobás, motivadas por caracterizaciones de dos propiedades geométricas de los espacios de Banach: la convexidad uniforme y la suavidad uniforme. Estas propiedades, denominadas Bishop-Phelps-Bollobás operator property (BPBop) y Bishop-Phelps-Bollobás point property (BPBpp), fueron introducidas y estudiadas en el contexto de operadores lineales y bilineales a valores vectoriales. Siguiendo esta misma línea, en [DKLM] hemos estudiado versiones locales de las propiedades BPBop y BPBpp. Mostraremos las diferencias entre estas propiedades locales y sus respectivas versiones uniformes, y su estrecha relación con propiedades geométricas de los espacios de Banach.

    Bibliografía

    [BP] Bishop E. and Phelps R., A proof that every {B}anach space is subreflexive, Bull. Amer. Math. Soc. 67, (1961), 97-98.

    [Boll] Bollob{á}s B., An extension to the theorem of {B}ishop and {P}helps, Bull. London Math. Soc. 2, (1970), 181-182.

    [DKL] Dantas S., Kim S.K. and Lee H.J., The Bishop-Phelps-Bollobás point property, J. Math. Anal. Appl., 444, 1739-1751, 2016.

    [DKLM] Dantas S., Kim S. K., Lee H. J. and Mazzitelli M., Local Bishop-Phelps-Bollobás properties, J. Math. Anal. Appl., 468 (1), 304-323, 2018.

    [DKLM2] Dantas S., Kim S. K., Lee H. J. and Mazzitelli M., Strong subdifferentiability and local Bishop-Phelps-Bollobás properties, arXiv:1905.08483v1.

    [KL] Kim S.K. and Lee H.J., Uniform convexity and the Bishop-Phelps-Bollobás property, Canad. J. Math., 66, 373-386, 2014.

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    • UMA SOMACHI
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