Resúmenes

Análisis Numérico

Ordenados alfabéticamente por título.
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A posteriori error analysis for the Stokes system with Dirac measures

Francisco Fuica (Universidad Técnica Federico Santa María, francisco.fuica@sansano.usm.cl); Felipe Lepe (Universidad Técnica Federico Santa María, felipe.lepe@usm.cl); Enrique Otárola (Universidad Técnica Federico Santa María, enrique.otarola@usm.cl); Daniel Quero (Universidad Técnica Federico Santa María, daniel.quero@alumnos.usm.cl)

The purpose of this work is the design and analysis of a reliable and efficient residual--type a posteriori error estimator for the Stokes equations with a Dirac measure as a forcing term, in the $\mathbf{W}^{1,p}(\Omega)\times \text{L}^p(\Omega)$--norm. To approximate the solution of the problem, we proceed based on the lowest order Taylor--Hood and mini element schemes. On the basis of the devised a posteriori error estimator, we design a simple adaptive strategy that yields optimal rates of convergence for the numerical examples that we perform.

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An ultraweak formulation of the Timoshenko beam bending model and DPG approximation

Carlos Garcia (Pontificia Universidad Católica de Chile, cgarciv@mat.uc.cl)

In this work we propose and analyze a new discontinuous Petrov--Galerkin (DPG) method with optimal test functions for the stationary Timoshenko beam model. We eliminate the rotation and shear force unknows and formulate a ultra--weak variational formulation (UWVF) with deflection and bending moment as main unknows. Moreover, we incorporate the explicit dependence on the thickness parameter and hence, we can extend our analysis and results to the Euler--Bernoulli model. Then, using a general framework, we prove the well--posedness of the our ultra--weak variational formulation with the corresponding error estimates. Finally, we report several numerical experiments which shows the good performance of this method.

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Analysis of a mixed-FEM for stationary incompressible magneto-hydrodynamics

Ricardo Oyarzúa (Universidad del Bio-Bio, royarzua@ubiobio.cl); Jessika Camaño (Universidad Catolica de a Santisima Concepcion, jecamano@ucsc.cl); Carlos Garcia (Pontificia Universidad Catolica de Chile, cgarciv@mat.uc.cl)

In this paper we propose and analyze a new mixed finite element method for the stationary incompressible magneto-hydrodynamics. The method is based on the introduction of a pseudostress tensor relating the velocity gradient with the convective term, leading to a mixed formulation where the aforementioned pseudostress tensor and the velocity are the main hydrodynamic unknowns, while the magnetic field and a Lagrange multiplier are the magnetic unknowns. Then the associated Galerkin scheme can be defined by employing Raviart-Thomas elements of degree $k$ for the pseudostress tensor, discontinuous piecewise polynomial elements of degree $k$ for the velocity, Nédélec elements of degree $k$ for the magnetic field and Lagrange elements of degree $k$ for the respective Lagrange multiplier. The analysis of the continuous and discrete problems are carried out by means of the Lax--Milgram lemma, the Banach--Ne\v cas--Babu\v ska theorem and the Banach fixed-point theorem, under a sufficiently small data assumption. We also develop an a priori error analysis and show that the proposed finite element approximation leads to optimal order of convergence.

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Analysis of a momentum conservative mixed-FEM for the stationary Navier-Stokes problem

Jessika Camaño (Universidad Católica de la Santísima Concepcion, jecamano@ucsc.cl); Carlos Garcia (Pontificia Universidad Católica de Chile, cgarciv@mat.uc.cl); Ricardo Oyarzúa (Universidad del Bío-Bío, royarzua@ubiobio.cl)

In this work we propose and analyze a new momentum conservative mixed finite element method for the Navier--Stokes problem posed in non-standard Banach spaces. Our approach is based on the introduction of a pseudostress tensor relating the velocity gradient with the convective term, leading to a mixed formulation where the aforementioned pseudostress tensor and the velocity are the main unknowns of the system. Then the associated Galerkin scheme can be defined by employing Raviart--Thomas elements of degree $k$ for the pseudostress tensor and discontinuous piece--wise polynomial elements of degree $k$ for the velocity. With this choice of spaces, the equilibrium equation is exactly satisfied if the external force belongs to the velocity discrete space, thus the method conserves momentum, which constitutes one of the main feature of our approach. For both, the continuous and discrete problems, the Banach--Ne\v cas--Babu\v ska and Banach's fixed point theorems are employed to prove unique solvability. We also provide the convergence analysis and particularly prove that the error decay with optimal rate of convergence. Further variables of interest, such as the fluid pressure, the fluid vorticity and the fluid velocity gradient, can be easily approximated as a simple postprocess of the finite element solutions with the same rate of convergence. Finally, several numerical results illustrating the performance of the method are provided.

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Approximation classes for adaptive, time-stepping finite element methods

Pedro Morin (Universidad Nacional del Litoral, pmorin@santafe-conicet.gov.ar); Cornelia Schneider (Universität Erlangen-Nürnberg, schneider@math.fau.de)

We present a framework for the analysis of optimality of adaptive, time-stepping finite element methods. We state the concept of best approximation in terms of total number of degrees of freedom and discuss on different regularity spaces that will guarantee the optimal algebraic order of convergence. We will consider equal as well as different polynomial degrees in space and time.

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Condiciones geométricas simples en elementos cuadriláteros para tener una estimación anisotrópica del error para el interpolador de Lagrange

Gabriel Monzon (Universidad Nacional de General Sarmiento, gmonzon@ungs.edu.ar)

De acuerdo con [1], un cuadrilátero $K$ es considerado una perturbación de un rectángulo si el mapeo $F_K$ entre el cuadrado unitario $\widehat{K}=[0,1]^2$ y $K$ está dado por \[ \small F_K(\widehat{x},\widehat{y}) = P + (a\widehat{x}, b\widehat{y}) + \sum_{i=1}^4 a^{(i)} \widehat{\phi}_i(\widehat{x},\widehat{y})  \  \  (1)\] donde $P\in \mathbb{R}^2$, $b \le a$, $\widehat{\phi}_i$ denota la función base asociada al vértice $\widehat{V}_i$ de $\widehat{K}$; y, para los vectores distorsivos $a^{(i)}=(a^{(i)}_1, a^{(i)}_2)$, existen constantes $a_0,a_1, a_2$ tales que \[ \small |a_i^{(j)}| \leq a_i b, \quad 0 \leq a_i \lesssim 1, \quad i=1,2,\ j=1,\dots, 4,  \  \  (2)\] \[ \small 1/2-aa_1/b-a_2 \geq a_0 > 0.  \  \  (3)\]

Para esta clase de elementos se obtuvo [1] la siguiente estimación anisotrópica del error \[ \small |u - Q_1u|_{1,K} \le C \left[ a \left\| \partial_{x_1} \nabla u \right\|_{0,K} + b \left\| \partial_{x_2} \nabla u \right\|_{0,K} \right]  \  \  (4)\] siendo $C$ una constante uniforme ($Q_1 u$ denota la $\mathcal{Q}_1$-interpolada de Lagrange de $u$).

Los requerimientos (1)-(3) no tienen un claro sentido geométrico y su testeo no es una cuestión simple ni inmediata. Además, la estimación (4) no está escrita explícitamente en términos de los lados de $K$; más bien, involucra lados del rectángulo que es perturbado para obtener $K$.

En [3] se muestra que si un cuadrilátero $K$ verifica la doble condición del ángulo (todo ángulo interior de $K$ está lejos de $0$ y $\pi$) y cumple la propiedad de lados opuestos casi paralelos, esto es, $K$ se encuentra contenido en un paralelogramo determinado por dos de sus lados vecinos $l_1$ y $l_2$ de modo que $|l_2| \le |l_1|$ y $1/2+\epsilon \le dist(P,l_1)/dist(P',l_1) \le 1$ con $\epsilon \in (0,1/2)$ donde $P$ y $P' \in l_2$ son los vértices de $K$ opuestos a $l_1$; entonces existe una constante $C$ que cumple \[ \small |u-Q_1u|_{1,K} \le C \left[ |l_1| \left\| \partial_{l_1} \nabla u \right\|_{0,K} + |l_2| \left\| \partial_{l_2} \nabla u \right\|_{0,K} \right].  \  \  (5)\] Si bien (5) presenta ventajas respecto a (4) ya que está enteramente escrita en términos de $K$, y las condiciones geométricas involucradas tienen una claro sentido geométrico y son simples de testear; la prueba de (5) se basa fuertemente en (4). Finalmente, en [2] se muestra que (5) vale para aquellos cuadriláteros que tienen el ángulo interior más grande acotado lejos de $\pi$ y cuyos (pares de) lados opuestos tienen longitudes comparables. Más aún, (5) puede generalizarse para todo $p\ge 1$. Las condiciones anteriores resultan fáciles de interpretar geométricamente y son inmediatas de testear, además, la demostración dada en [2] es independiente de (4).

La charla tiene por objeto presentar los principales resultados de [2] y contar el enfoque usado para demostrarlos; no obstante, una breve reseña de los antecedentes citados parece adecuada.



[1] Apel T.: Anisotropic finite elements: Local estimates and applications. Adv. in Num. Math., B. G. Teubner, Stuttgart, Leipzig (1999).

[2] Monzón G.: Anisotropic interpolation error estimate for arbitrary quadrilateral isoparametric elements. Numer. Math. DOI 10.1007/s00211-019-01061-7 (2019).

[3] Monzón G.: Estimación anisotrópica del error de interpolación sobre cuadriláteros: condiciones geométricas simples. Trabajo aceptado en el volumen 7 de la revista MACI (2019).

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Ecuaciones de Stokes con velocidad discontinua en el borde

Ricardo Durán (Universidad de Buenos Aires, IMAS (UBA - CONICET), rduran@dm.uba.ar); Lucia Gastaldi (Università degli Studi di Brescia (Italia), lucia.gastaldi@unibs.it); Ariel L. Lombardi (Universidad Nacional de Rosario, CONICET, ariel@fceia.unr.edu.ar)

El problema del flujo en una cavidad o lid-driven cavity flow se usa muchas veces para verificar la adecuación de distintos métodos de elementos finitos para aproximar las ecuaciones de Stokes o de Navier-Stokes. Se trata de un problema en un dominio $\Omega$ poligonal, con velocidad prescripta en el borde con discontinuidades en vértices que causan las principales dificultades tanto desde el punto de vista teórico como práctico. El dato de borde no está en $H^\frac12(\partial\Omega)$ y como consecuencia la velocidad no es un campo de $H^1(\Omega)$ y por lo tanto la formulación variacional usual de las ecuaciones de Stokes deja de ser válida para este problema. Sin embargo, en la práctica, en las discretizaciones por elementos finitos, este inconveniente tiende a ser ignorado y se impone el dato de borde discontinuo directamente.

La existencia y unicidad de solución para el problema de Stokes en esta situación fue estudiada en [3] (ver también [2] para el caso tridimensional). En [1], usando solo regularidad en $W^{1,r}(\Omega)$ con $1< r< 2$ y una regularización particular del dato de borde, se obtienen estimaciones de error para las discretizaciones por elementos finitos.

En nuestro caso, estamos interesados en las aproximaciones que se obtienen cuando la regularización del dato de borde es simplemente la interpolación de Lagrange del mismo, con alguna modificación sencilla en los puntos de discontinuidad (mediante un conveniente promedio, por ejemplo). Imponer esta regularización como condición de Dirichlet no implica, prácticamente, ningún costo adicional con respecto al caso de problemas regulares, y es posible obtener estimaciones de error casi óptimas en normas $L^2$ para la velocidad y $H^{-1}$ para la presión. Nuestros resultados dependen de cotas bastante ajustadas del error en normas negativas $H^{-s}(\partial\Omega)$ entre el dato original y el aproximado, y de estimaciones casi uniformes, con respecto al parámetro de discretización, de la norma $H^\frac12$ del dato aproximado (que es continuo y aproxima un campo discontinuo).

Bibliografía

[1] Z. Cai, Y. Wang. Math. Comp. 78 (2009) 771--787.

[2] E.B. Fabes, C.E. Kenig, G.C. Verchota. Duke Math. J. 57 (1988) 769--793.

[3] M. Hamouda, R. Temam, L. Zhang. Int. J. Numer. Anal. Modeling 14 (2017) 313--341.

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Error estimates for the pointwise tracking optimal control problem of the Stokes equations

Daniel Quero (Universidad Técnica Federico Santa María, daniel.p.quero@gmail.com); Francisco Fuica (Universidad Técnica Federico Santa María, francisco.fuica@sansano.usm.cl); Enrique Otárola (Universidad Técnica Federico Santa María, enrique.otarola@usm.cl); Alejandro Allendes (Universidad Técnica Federico Santa María, alejandro.allendes@usm.cl)

The purpose of this work is to derive error estimates for the pointwise tracking optimal control problem of the Stokes equations. This linear-quadratic optimal control problem entails the minimization of a cost functional that involves point evaluations of the velocity field that solves the state equations. We also consider box constraints on the control variable. To approximate the solution of this problem, we consider the lowest - order Taylor Hood scheme. Finally, we perform some numerical experiments that illustrate our theory.

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Estimaciones en normas con pesos y aplicaciones a la aproximación numérica de problemas elí pticos con datos singulares

Irene Drelichman (IMAS (CONICET-UBA) y Departamento de Matemática, FCE, UNLP, irene@drelichman.com); Ricardo Durán (IMAS (CONICET-UBA) y Departamento de Matemática, FCEN, UBA, rduran@dm.uba.ar); Ignacio Ojea (IMAS (CONICET-UBA) y Departamento de Matemática, FCEN, UBA, iojea@dm.uba.ar)

La teorí a clásica de elementos finitos para problemas elí pticos lineales de orden dos se basa en la teorí a de espacios de Hilbert trabajando en el espacio de Sobolev $H^1$.

Sin embargo hay problemas en los cuales el método puede aplicarse aunque la solución no esté en $H^1$. Un ejemplo importante de esto es el problema de Poisson \[ \left\{ \begin{aligned} -\Delta u = \mu &\  \mbox{in}\  \Omega\\ u = 0 &  \ \mbox{on}\  \partial\Omega \end{aligned} \right. \] siendo $\mu$ una medida.

Para el caso en que $\Omega$ es un polígono o un poliedro convexo, obtenemos estimaciones a priori en espacios de Sobolev con pesos para este tipo de problemas generalizando los métodos utilizados para integrales singulares. Como consecuencia, trabajando en espacios con pesos, se puede extender la teoría clásica de elementos finitos para demostrar convergencia y estimaciones de error en estos casos.

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Flujo hidrodinámico unidimensional transitorio con un fondo móvil

Verónica Moreno (Universidad Nacional de Tres de Febrero, vmoreno@untref.edu.ar); Pablo Jacovkis (Universidad Nacional de Tres de Febrero, pjacovkis@untref.edu.ar)

En este trabajo se analiza el flujo hidrodinámico inestable sobre canales rectangulares con superficie libre y fondo móvil. Este flujo se rige por un sistema cuasilineal de ecuaciones diferenciales parciales de orden 3. Demostramos que, bajo supuestos bastante generales, el sistema es estrictamente hiperbólico para todos los tipos de flujo (subcrítico, crítico, supercrítico, transicional) y la matriz del sistema nunca es singular. Una transición del flujo de subcrítico a supercr\'tico y de supercrítico a subcrítico es factible sin cambiar el número de condiciones de borde en cada punto extremo. Deben proporcionarse dos condiciones de borde en el punto extremo aguas arriba y una en el punto extremo aguas abajo: se aplica un esquema de diferencia finita en diferentes casos a modo de ejemplo; La simulación modela el fenómeno de antiduna.



Cuando el fondo es móvil el flujo es modelado por las siguientes ecuaciones

\[ \frac{\partial \mathbf{w}}{\partial t}+ \mathbf{A}(\mathbf{w})\frac{\partial \mathbf{w}}{\partial x} = \mathbf{c}(\mathbf{w}),  \  \  (1)\] dodne $\mathbf{w} = (u(t, x), h(t, x), e(t, x))$ es el vector de funciones desconocidas, $\mathbf{A} (\mathbf{w})$ es la matriz \[ \mathbf{A}(\mathbf{w})= \begin{bmatrix} u & g & g \\ h & u & 0 \\ G_u & G_h & 0 \end{bmatrix},  \  \  (2)\] y $\mathbf{c}(\mathbf{w})=(\frac{-C_b u \|u\|}{h},0,0)^t$. Las condiciones iniciales son \[ \mathbf{w}(t_0, x) = \mathbf{w}_0(x).  \  \  (3)\] Donde $u$ es la velocidad, $h$ es la altura del agua y $e$ es la elevación del fondo medida desde un lugar fijo. Para $G$ se usa la ecuación de transporte de Meyer-Peter and Müller : \[ G (u,h)=\begin{cases} \chi (|\tau|-\tau _0)^{3/2} sign (\tau) \, \, &, \text{ if } |\tau| > \tau _0 \\ 0 \, \, &, \text{ if } |\tau| \leq \tau_0 \\ \end{cases}  \  \  (4)\]

Vamos a introducir el número de Froude $F = \frac{u}{\sqrt{gh}}$ ; los flujos subcriticos, criticos y supercriticos corresponden a $|F| < 1$, $|F| = 1$,$|F| > 1$, respectivamente. Decimos que ocurre una transición cuando el flujo pasa de subcritico a supercritico, o de supercritico a subcritico.

Asumiendo que $|\tau| > \tau _0$, si $F$ satisface $\frac{1} {F^2} \geq \frac{gG_u}{6u^2}$, y $u >0$ luego el problema (1), (3), bajo (4),siempre tendrá dos condiciones de borde en el extremo izquierdo y una en el extremo derecho.

Para los ejemplos numéricos adoptamos el método de Preissmann, este método fue aplicado en un ejemplo de cada uno de los siguientes casos:

  1. Transición de un régimen subcritico a uno supercritico.
  2. Un régimen subcritico sin transición.
  3. Un régimen supercritico estacionario.
  4. Un fondo con una antiduna.

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Método de elementos finitos aplicado a peridinámica

Gabriel Acosta (UBA-IMAS-CONICET, gacosta@dm.uba.ar); Francisco Bersetche (Centro Atómico Bariloche-CONICET, francisco.bersetche@cab.cnea.gov.ar); Pablo Seleson (Oak Ridge National Laboratory , selesonpd@ornl.gov)

La simulación de fallas y daños en materiales es un área de investigación activa tanto en ciencias computacionales como en ingeniería. Los sistemas de modelado que presentan discontinuidades que evolucionan representan un desafío en a la teoría clásica de la mecánica sólida del continuo, debido al requerimiento de diferenciabilidad en los campos de desplazamiento. Para resolver esta limitación esencial, fue propuesta la teoría no local llamada peridinámica, basada en interacciones de largo alcance. Los modelos constitutivos en peridinámica dependen de vectores de deformación finita, a diferencia de los modelos constitutivos clásicos que dependen de los gradientes de deformación. Como consecuencia, las discontinuidades en los campos de desplazamiento se manifiestan naturalmente en peridinámica, lo que hace que la teoría resulte adecuada para la descripción de grietas y su evolución en materiales. Las aplicaciones de peridinámica incluyen descripción de fallas y daño en laminados compuestos, propagación de grietas y ramificación, daño por impacto, plasticidad cristalina, daño en concreto, entre muchas otras.

En particular, considerando pequeños desplazamientos, un problema de peridinámica estática en dos dimensiones puede ser planteado a partir de la ecuación integral

\[ \left\lbrace \begin{array}{rl} -C\int_{B(0,\delta)}{ \omega(\|\xi\|) \frac{\xi \otimes \xi}{\|\xi\|^2}(u(x') - u(x)) }\, dx' & = b(x), \text{ en } \Omega \\ u(x) & = g(x) \text{ en } \mathcal{B}\Omega, \end{array} \right.   \  \  (1)\] donde $\xi = x' - x$, $\delta > 0$ un parámetro que mide la distancia máxima a la cual dos partículas de material pueden influirse, $\mathcal{B}\Omega = \Omega_{\delta} \setminus \Omega$, $\omega: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ una función que pondera la influencia según la distancia, $C$ es una constante de normalización, y $g$ juega el rol de dato de borde sobre $\mathcal{B}\Omega$.

En este trabajo se desarrolla y analiza el método de elementos finitos para la resolución numérica de este tipo de problemas.

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Método de Galerkin discontinuo hibridizable aplicado a un problema de física de plasmas

Manuel Solano (Universidad de Concepción, msolano@ing-mat.udec.cl); Tonatiuh Sánchez-vizuet (New York University, tonatiuh@nyu.edu); Nestor Sánchez (Universidad de Concepción, nsanchez2602@gmail.com)

En reactores de fusión axisimétricos, la configuración magnética en equilibrio puede ser expresada en términos de la solución de un problema elíptico semilinear con condiciones de contorno de Dirichlet, conocido como ecuación de Grad-Shafranov. Dicha solución es la componente poloidad del campo magnético y la ecuación es válida en un dominio no poligonal $\Omega$ que corresponde a la región en donde el plasma es confinado.

Para aproximar la solución de la ecuación de Grad-Shafranov, proponemos utilizar un método de Galerkin discontinuo hibridizable (HDG) de alto order. Para ello, $\Omega$ es aproximado por un subdominio poligonal $\Omega_h$ y el dato de frontera es transferido en forma apropiada desde $\partial \Omega$ hacia $\partial\Omega_h$. Mediante un argumento de punto fijo, mostramos que el esquema está bien puesto bajo ciertas hipótesis relacionadas con la distancia entre la frontera computational y la frontera real. Además, demostramos que el orden de aproximación del método es óptimo, es decir, tanto la solución de la ecuación de Grad-Shafranov como su gradiente son aproximadas en $L^2$ con orden $h^{k+1}$, donde $h$ es el tammaño de la triangulación del dominio $\Omega_h$ y $k$ es el grado polinomial de los espacios locales de aproximación. Además, proponemos un estimador de error a posteriori y un esquema de refinamiento adaptativo basado en un estimador residual del error. Experimentos numéricos validan la teoría.

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Método mixto de elementos finitos para problemas degenerados: Aplicación al problema del Laplaciano Fraccionario

María Luz Alvarez (Departamento de Matemática - UBA, mlalvarez@dm.uba.ar); Ricardo Durán (IMAS UBA - CONICET, rduran@dm.uba.ar)

Consideramos el operador no-local Laplaciano Fraccionario de orden $s \in (0,1)$. Dado $\Omega \subset \mathbb{R}^{n} $ y $f \in L^{2}(\Omega)$ queremos resolver:

\[ \begin{cases}(-\Delta)^{s}v =& f \text{ en } \Omega \\ v = 0 &\text{ en } \Omega^{c} \\ \end{cases} \]

Luis Caffarelli y Luis Silvestre probaron que este problema es equivalente a un problema local en espacios de mayor dimensión, $\Omega_{+}=\Omega \times(0,\infty)$. En efecto, $v(x)=u(x,0) \in \Omega$ donde $u:\Omega_{+}\rightarrow\mathbb{R}$ es la solución de: \[ \begin{cases} div(y^{\alpha}\nabla u(x,y)) = 0 &\text{ en } \mathcal{C}=\Omega\times(0,\infty) \\ -lim_{y\rightarrow 0} y^{\alpha} \frac{\partial u}{\partial y } = f& \text{ en } \Gamma_{N}=\Omega\times\{0\} \\ u = 0 &\text{ en } \Gamma_{D}= \partial \mathcal{C} - \Gamma_{N} \end{cases} \]

En esta comunicación presentaré estimaciones del error a posteriori para el método mixto de elementos finitos del problema anteriormente mencionado.

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Paralelización adaptativa de métodos afines

Adrian Omar Alvarez (ITBA-UNSAM, tatoalvarez@hotmail.com)

En este trabajo se estudian herramientas permiten describir comportamientos dinámicos evolutivos en los cuales el primer miembro de la igualdad hay dos expresiones, la primera varia en forma proporcional con la variable en cuestión o sus respectivas razones de cambio relativas a la posición siendo esta proporción alguna matriz de datos que se mantiene constante durante la evolución, tal expresión está acoplada aditivamente a alguna aplicación que varia manifestando algún tipo de no linealidad autónoma fija al origen. Al otro miembro de la identidad se expresa la razón de cambio para la variable involucrada en el modelo pero relativa al tiempo transcurrido.
Resultan de interés estos modelos pues suelen describir la mayoría de los sistemas Hamiltoneanos, muchas situaciones de competencia por un recurso entre poblaciones donde al crecimiento de una es amenazado por la otra, también en modelos donde según la escala de una acción se opone una reacción. Al describirlos por sistemas de ecuaciones diferenciales resultan del tipo autónomo desacoplable ajustados a la forma: \[ A_{0}u+A_{1}(u)=u_{t}\;,u(0)=\,u_{0}\] Hemos desarrollado técnicas de paralelización adaptativas para aplicar de modo eficiente y con alta presición estas novedosas técnicas en los métodos afines.

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Symmetric and non-symmetric discontinuous Galerkin methods for a pseudostress formulation of the Stokes spectral problem.

Felipe Lepe (Universidad Técnica Federico Santa María, felipe.lepe@usm.cl); David Mora (Universidad del Bío-Bío, dmora@ubiobio.cl)

In this talk we present symmetric and non-symmetric discontinuous Galerkin methods for the Stokes eigenvalue problem. The formulation is obtained by introducing the so-called pseudostress tensor and thanks to the structure of the system, the velocity and pressure variables are eliminated. We propose different DG discretizations to solve the resulting spectral problem and the convergence analysis is based on the abstract spectral theory for non-compact operators. We show that the proposed method is spurious modes free and asymptotic estimates for the eigenvalues and eigenfunctions are proved if the so-called stabilization parameter is sufficiently large and the meshsize is small enough. We report some numerical experiments to assess the performance of the methods.

Bibliografía

[Antonietti] P.F. Antonietti, A. Buffa and I. Perugia, Discontinuous {G}alerkin approximation of the {L}aplace eigenproblem, Comput. Methods Appl. Mech. Engrg., 195 (2006), pp. 3483--3503.

[buffaHoustonPerugia] A. Buffa, P. Houston and I. Perugia, Discontinuous Galerkin computation of the Maxwell eigenvalues on simplicial meshes, J. Comput. Appl. Math., 2014 (2007), pp. 317--333.

[BuffaPerugia] A. Buffa and I. Perugia, Discontinuous {G}alerkin approximation of the {M}axwell eigenproblem, SIAM J. Numer. Anal., 44 (2006), pp. 2198--2226.

[DNR1] J. Descloux, N. Nassif and J. Rappaz, On spectral approximation. Part 1: The problem of convergence, RAIRO Anal. Numér., 12 (1978), pp. 97--112.

[DNR2] J. Descloux, N. Nassif and J. Rappaz, On spectral approximation. Part 2: Error estimates for the Galerkin method, RAIRO Anal. Numér., 12 (1978), pp. 113--119.

[LMMR2] F. Lepe, S. Meddahi, D. Mora and R. Rodríguez, Mixed discontinuous Galerkin approximation of the elasticity eigenproblem, Numer. Math., 142 (2019), pp. 749-786

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Un método de elementos finitos para cristales líquidos nemáticos uniaxiales

Juan Pablo Borthagaray Peradotto (Departamento de Matemática y Estadística del Litoral, jpborthagaray@gmail.com)

Presentamos un método de elementos finitos para computar configuraciones de equilibrio en el modelo de Landau-de Gennes para cristales líquidos nemáticos uniaxiales. En éste, la distribución de orientaciones moleculares está dada por un campo tensorial de rango uno, y una variable escalar cuantifica el grado de alineamiento de las moléculas respecto a dicho campo tensorial. La ecuación de Euler-Lagrange resultante es degenerada en el campo de orientación, lo que permite que los llamados defectos tengan energía finita.

Además de ser consistente y estable, el método de elementos finitos que presentamos es capaz de tratar con el problema degenerado resultante sin regularización. Mostramos simulaciones en dos y tres dimensiones para ilustrar la capacidad del método de tratar defectos no triviales, así como incorporar efectos asociados a la inclusión de coloides y la presencia de campos externos.

Este es un trabajo conjunto con Ricardo Nochetto (University of Maryland) y Shawn Walker (Louisiana State University).

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Vibraciones acústicas con disipación.

Rodolfo Rodriguez (Universidad de Concepcion , rodolfo@ing-mat.udec.cl)

El cálculo de los modos naturales de vibración de un fluido acústico en presencia de disipación conduce a problemas cuadráticos de valores propios; es decir, a problemas en los que la frecuencia (compleja) de vibración es solución de una ecuación cuadrática completa en operadores. Estos problemas resultan equivalentes al problema espectral de un operador no compacto ni autoadjunto. En esta comunicación consideraremos problemas con fuentes de disipación interior (fluidos viscosos). Introduciremos un modelo basado en una formulación en desplazamientos, irrotacionales para el que se obtendrá una caracterización espectral completa. Introduciremos luego una discretización mediante elementos finitos de Raviart-Thomas que converge con orden óptimo y no presenta modos espurios de vibración.

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