Resúmenes

Ecuaciones Diferenciales

Ordenados alfabéticamente por título.
Por modificaciones, comunicarse al correo del Noticiero UMA (uma.noticiero@gmail.com).

An optimization problem with volume constraint for an inhomogeneous operator with nonstandard growth

Claudia Lederman (Departamento de Matemática, FCEN, Universidad de Buenos Aires / IMAS - CONICET, clederma@dm.uba.ar); Noemi Wolanski (Departamento de Matemática, FCEN, Universidad de Buenos Aires / IMAS - CONICET, wolanski@dm.uba.ar)

We will present recent results on an optimization problem with volume constraint for an energy functional associated to an inhomogeneous operator with nonstandard growth. By studying an auxiliary penalized problem, we prove existence and regularity of solution to the original problem: every optimal configuration is a solution to a one phase free boundary problem, for an operator with nonstandard growth and non-zero right hand side, and the free boundary is a smooth surface.

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Analisis de estabilidad de soluciones periodicas en ecuaciones diferenciales con retardos y aplicaciones

Griselda Rut Itovich (Universidad Nacional de Río Negro, gitovich@unrn.edu.ar); Franco Sebastian Gentile (Universidad Nacional del Sur y CONICET, fsgentile@gmail.com); Jorge Luis Moiola (Universidad Nacional del Sur y CONICET, jmoiola@uns.edu.ar)

Las ecuaciones diferenciales con retardos (edrs) pueden estudiarse aplicando la metodología en el dominio frecuencia. Como consecuencia del Teorema de Bifurcación de Hopf Gráfico [1], es posible obtener aproximaciones de las soluciones periódicas emergentes por medio de f órmulas cerradas, de diferentes órdenes de precisión [2]. Para determinar la estabilidad de dichas órbitas y sus posibles bifurcaciones, se debe analizar una ecuación diferencial lineal con retardos y coeficientes periódicos. Para avanzar en ello, se han implementado dos metodologías: una basada en un método de colocaci ón de polinomios de Chebyshev [3] y otra mixta denominada de semidiscretización [4]. El método que emplea polinomios de Chebyshev ha permitido avanzar en la determinación de bifurcaciones de ciclos en diferentes modelos. Por otra parte, el método de semidiscretización permite abordar el problema de estabilidad en ecuaciones diferenciales lineales con varios retardos, independientes entre sí. Por este motivo, se presentan aplicaciones de esta metodología para el análisis de estabilidad de soluciones de equilibrio y periódicas en edrs, con uno o m ás retardos. Los resultados obtenidos pueden contrastarse con algunos ya publicados y con el programa DDE-BIFTOOL [5].

Referencias:

[1] Mees, A. I. y Chua, L. O. (1979). The Hopf bifurcation theorem and its applications to nonlinear oscillations in circuits and systems. IEEE Transactions on Circuits and Systems, 26(4), pp. 235-254.

[2] Moiola, J. L. y Chen, G. (1996). Hopf Bifurcation Analysis - A Frequency Domain Approach. World Scientific Publishing Co, Singapur.

[3] Butcher, E. y Mann, B. (2009). Stability analysis and control of linear periodic delayed systems using Chebyshev and temporal finite element methods, en B. Balachandran et al. (eds), Delay Differential Equations, Recent Advances and New Directions, Springer, pp. 93-129.

[4] Insperger, T. y Stépán, G. (2004). Updated semi-discretization method for periodic delay-differential equations with discrete delay. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 61, pp. 117-141.

[5] Engelborghs, K., Luzyanina, T. y Roose, D. (2002). Numerical bifurcation analysis of delay differential equations using DDE-BIFTOOL. ACM Transactions on Mathematical Software, 28(1), pp. 1-21.

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Coupling local and nonlocal evolution equations

Julio D. Rossi (Depto Matematica, FCEyN, Buenos Aires Univ., jrossi@dm.uba.ar)

We prove existence, uniqueness and several qualitative properties for evolution equations that combine local and nonlocal diffusion operators acting in different subdomains and coupled in such a way that the resulting evolution equation is the gradient flow of an energy functional. We deal with the Cauchy, Neumann and Dirichlet problems, in the last two cases with zero boundary data. For the first two problems we prove that the model preserves the total mass. We also study the behaviour of the solutions for large times. Finally, we show that we can recover the usual heat equation (local diffusion) in a limit procedure when we rescale the nonlocal kernel in a suitable way.

Joint work with A. Garriz (UAM, Madrid) and F. Quiros (UAM, Madrid)

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Decay of small odd solutions of the long range Schrödinger and Hartree equations in one dimension

María E. MartÍnez Martini (Universidad de Chile, maria.martinez.m@uchile.cl)

We consider the long time asymptotics of (not necessarily small) odd solutions to the one-dimensional nonlinear Schrödinger equation \[ iu_t+u_{xx}=g(u), \quad (t, x) \in \mathbb{R}\times \mathbb{R}.  \  \  (1)\] with semi-linear nonlinearities \[ g(u)=\mu V(x)u+ |u|^{p-1}u, \quad 1< p< 5,  \  \  (2)\] where the potential $V$ is a Schwartz even function, and nonlocal Hartree nonlinearity \[ g(u)=\left( \frac{1}{|x|^a}*|u|^2\right)u, \quad 0< a< 1.  \  \  (3)\] \par We assume data in the energy space only and we prove decay to zero in compact regions of space as time tends to infinity. We give three different results were decay holds: NLS without potential, NLS with potential and Hartree (defocusing case). The proof is based in the use of suitable virial identities and covers all range of scattering sub, critical and supercritical (long range) nonlinearities.

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Estimaciones del orden de crecimiento para el funcional de costo de Monge

Maximiliano Omar Frungillo (UBA - FCEyN - IMAS, mfrungillo@dm.uba.ar)

El conjunto factible $\mathcal{F}$ de un problema de transporte entre dominios $X,Y\subset \mathbb{R}^n$ está dado por las soluciones débiles de la ecuación del jacobiano asociada. Para el costo cuadrático, el transporte óptimo es el único elemento $\nabla P \in \mathcal{F}$ con $P$ solución convexa de la ecuación de Monge--Ampère del problema.

Veremos que el orden de crecimiento del funcional de costo de Monge puede estimarse, en torno a $\nabla P$, en función del orden de integrabilidad de los autovalores de $D^2P$. Bajo hipótesis de regularidad adicionales el orden obtenido será exacto y las constantes óptimas.

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Estudio de la Ecuación de Nicholson con feedback positivo

Carlos Héctor Daniel Alliera (Departamento de Matemática FCEN (UBA), mustufar1@yahoo.com.ar)

La ecuación de Nicholson con retardo muestra la dinámica del crecimiento poblacional de ciertas especies. En este trabajo vamos a analizar un caso donde a la ecuación de Nicholson se le aplica un control que afecta su equilibrio. El modelo de nuestro estudio es el siguiente: \[ \left\lbrace \begin{array}{l} N'(t)= -\alpha N(t)+pN(t-\tau)e^{-N(t-\tau)}+\beta u(t)\\ \\ u'(t)= - \gamma u(t)+\delta N(t)\\ \\ N(t)=\varphi(t),\ t\in[-\tau,0]\\ \\ u(0)=u_0 , \end{array}\right.  \  \  (1)\] donde $u$ es un control diferenciable.
Se supone que los parámetros adicionales $\beta,\ \gamma,\ \delta$ son positivos, la función $\varphi\in C^1([-\tau,0])$ es estrictamente positiva y $u_0 >0$.
El equilibrio resulta ser: \[ N^*=\ln \left( \frac{\gamma p}{\alpha \gamma -\beta \delta }\right) ,\ u^*=\dfrac{\delta}{\gamma}N^*.\] Este equilibrio es positivo si $ \alpha \gamma >\beta \delta $ (esto incluso es necesario para que exista $N^*$) y $ \gamma p >\alpha \gamma -\beta \delta $. Además probaremos bajo qué condiciones se asegura la estabilidad local de este equilibrio.
Los resultados más relevantes que se aprecian en este modelo son los siguientes.
Teorema 1: Las soluciones de este sistema son positivas y acotadas.

Vamos a probar la persistencia de las soluciones del sistema controlado (1).
Proposición: Si para algún $t\in(0;+\infty)$ se verifica que $N(t) < e^{-\alpha \tau} $ entonces $N(t-\tau)< 1$.
Teorema 2: La solución $N$ de (1) verifica \[ \liminf\limits_{t\to+\infty} N(t) >0.\] Teorema 3: Si $p >\alpha$, cualquier solución de (1), donde $u_0 >0$ y $\varphi(t) >0$ si $-\tau\le t\le 0$, satisface la siguiente desigualdad: \[ \liminf\limits_{t\to+\infty} N(t)\ge\mu,\ \liminf\limits_{t\to+\infty} u(t)\ge \dfrac{\delta\mu}{\gamma} \] donde $\mu:=\min \{ \ln (\frac{p}{\alpha}), e^{-\tau \alpha}\}$.
Referencias.

  1. Berezansky L., Braverman E. e Idels L. Nicholson's blowflies differential equation revisited: main results and open problems, Appl. Math. Model, 34 (2010) 1405-1417.
  2. Amster P (2017). Ecuaciones diferenciales con retardo. Cursos y seminarios de matemática Serie B.
  3. Gopalsamy, K. Stability and Oscillations in Delay Differential Equations of Population Dynamics. Kluwer Academic Publishers 1992.

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Existencia de soluciones $(Q,\omega)$-periódicas para un sistema no autónomo de ecuaciones diferenciales con retardo.

Alberto Deboli (Universidad Nacional de General Sarmiento, afdeboli@campus.ungs.edu.ar); Pablo Amster (Universidad de Buenos Aires. CONICET, pamster@dm.uba.ar)

En el presente trabajo consideramos el siguiente sistema no autónomo de ecuaciones diferenciales con retardo [4] \[ \mathbf X'(t)=F(t,\mathbf X(t),\mathbf X(t-\tau))  \  \  (1)\] donde $\tau$ es una constante positiva y $F:\mathbb R\times \mathbb R^{2n}\to \mathbb R^{n}$ una función continua que satisface \[ F(t+\omega ,Q\ X ,Q\ Y )=Q\ F(t, X, Y), \qquad \forall \, t\in \mathbb R, X,Y\in \mathbb R^n  \  \  (2)\] para cierta matriz $Q\in \mathbb R^{n\times n}$ inversible y $\omega$ una constante positiva.

Bajo una condición de tipo Hartman [1,3] adaptada al sistema (1) y usando el método de continuación de Leray Schauder [2] probamos, para el sistema (1), la existencia de al menos una solución $(\mathbf Q,\omega)$-periódica [5,6], esto es, una solución que satisface la condición \[ \mathbf X(t+\omega)=Q\ \mathbf X(t),\ \forall t\in \mathbb R.  \  \  (3)\]

[1] P. Amster, L. Idels. Existence theorems for some abstract nonlinear non-autonomous systems with delays. Elsevier. Commun Nonlinear Sci Simulat 19 (2014), 2974-2982.

[2] P. Hartman. On boundary value problems for systems of ordinary nonlinear second order differential equations. Trans. Am. Math. Soc. 96 (1960), 493-509.

[3] J. Mawhin, R. Gaines. Coincedence Degree and Nonlinear Differential Equations Springer. Berlin (1977)

[4] H. Smith. An Introduction to Delay Differential Equations wiyh Applications to the Life Sciences. Springer, New York (2011).

[5] S. Wang. The existence of affine-periodic solutions for nonlinear impulsive differential equations. Boundary Value Problems (2018) 2018:113.

[6] Z. Xia. Measure pseudo affine-periodic solutions of semilinear differential equations. Math. Commun 23 No 2 (2018), 259-277

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Existencia de soluciones periódicas para ciertos sistemas lagrangianos

Stefania Demaria (CONICET y UNRC, stefidemaria@gmail.com); Leopoldo Buri (UNRC, lburi@exa.unrc.edu.ar); Fernando Darío Mazzone (UNRC y CONICET, fmazzone@exa.unrc.edu.ar)

Nuestro trabajo consiste en demostrar existencia de soluciones periódicas a problemas del siguiente tipo \[ \left\{ \begin{array}{ll} \frac{d}{dt} \nabla\Phi(\dot{u}(t))= D_{x} F(t,u(t)) \quad \hbox{c.t.p.}\ t \in (0,T)\\ u(0)-u(T)=\dot{u}(0)-u(T)=0, \end{array}\right.  \  \  (1)\] donde $T >0$, $u:[0,T]\to \mathbb{R}^n$ es absolutamente continua, $\Phi:\mathbb{R}^n\to [0,+\infty)$ es una $N$-función y $F:[0,T]\times\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$ es una función de Carathéodory suave. También consideramos funciones $F(t,x)$ no suaves, en cuyo caso queremos mostrar existencia de soluciones de la inclusión diferencial \[ \left\{ \begin{array}{ll} \frac{d}{dt} \nabla\Phi(\dot{u}(t))\in \partial_{x} F(t,u(t)) \quad \hbox{c.t.p.}\ t \in (0,T)\\ u(0)-u(T)=\dot{u}(0)-u(T)=0, \end{array}\right.  \  \  (2)\] aquí $\partial_x F$ denota el subdiferencial de Clarke con respecto a la variable $x$. Estos sistemas tienen importancia para modelizar, por ejemplo, sistemas mecánicos con fricción seca.

Nuestra metodología para abordar el problema se basa en el método directo del cálculo de variaciones formulado sobre espacios de Sobolev-Orlicz apropiados.

Estamos interesados en estudiar una condición que ha conducido con éxito a la existencia de soluciones periódicas cuando $\Phi(y)=|y|^p$, $1< p< \infty$, ver por ejemplo [1,2,3]. Nos referimos a la condición que en la literatura citada anteriormente es conocida como subconvexidad. Concretamente, se trata de la suposición de que existen $\lambda,\mu$ tales que $F(t,\lambda(x+y))\leq \mu (F(t,x)+F(t,y))$. Extenderemos los trabajos anteriores a funciones $\Phi$ más generales que las potencias y discutiremos la relación de la condición de subconvexidad con los índices de Matuszewska-Orlicz de $\Phi$. Nuestros resultados extienden los trabajos citados aún en el caso del $p$-laplacianos.

Bibliografía

[1] Daniel Pa{\c{s}}ca. Periodic solutions of a class of nonautonomous second order differential systems with (q, p)--laplacian. Bulletin of the Belgian Mathematical Society-Simon Stevin, 17(5), 2010.

[2] Xingyong Zhang and Xianhua Tang. Periodic solutions for second-order hamiltonian systems with a p-laplacian. Annales Universitatis Mariae Curie-Sklodowska, sectio A--Mathematica, 54(1):93--113, 2016.

[3] Chun Li, Ravi P Agarwal, and Chun-Lei Tang. Infinitely many periodic solutions for ordinary p-laplacian systems. Advances in Nonlinear Analysis, 4(4):251--261, 2015.

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Existencia de soluciones simétricas para problemas singulares de evolución en grupos sub-riemannianos por medio de juegos determinísticos

Julio Alejo Ruiz (Facultad de Ingeniería, UNCuyo - CONICET, julioalejoruiz@gmail.com); Pablo Ochoa (Facultad de Ingeniería, UNCuyo - CONICET, ochopablo@gmail.com)

En las últimas décadas existe un particular interés en estudiar ecuaciones difereciales en conetextos no Euclideanos. En este trabajo buscamos existencia de soluciones viscosas simétricas en grupos de Carnot para ecuaciones parabólicas singulares de la forma: \[ tu_t + \mu u + \mathcal{F}(\nabla_{0}u, \nabla^{2, *}_{0}u) =0, \qquad\textnormal{ en } (0, T) \times \Omega,  \  \  (1)\] donde $\mu \geqslant 0$. Para hallar las soluciones de $(1)$, construimos juegos determinísticos que se adaptan a la estructura diferencial y algebraica de los grupos de Carnot. Entre algunos ejemplos de ecuaciones en la forma de $(1)$ se encuentra la ecuación del Flujo de curvatura media de la forma: \begin{equation*} t- \mbox{tr}\Big[\Big( I - \frac{\nabla_{0}u \otimes \nabla_{0}u}{|\nabla_{0}u|^{2}}\Big)\nabla^{2, *}_{0}u\Big]=0. \end{equation*}

Bibliografía

[G] Y. Giga, Surface evolution equations: a level set method, Monographs in Mathematics, 99 (Birkh\"{a}user Verlag 2006).

[Kasai] K. Kasai, Representation of solutions for nonlinear parabolic equations via two-person game with interest rate, Hokkaido University preprint series 910.

[OR] P. Ochoa $\&$ J. A. Ruiz, Existence of symmetric solutions to singular evolution problems en sub-Riemannian groups via deterministic games. In preparation.

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Existencia, unicidad y multiplicidad exacta de soluciones positivas para problemas elípticos sublineales con peso de signo indefinido

Uriel Kaufmann (FaMAF, UNC, kaufmann@famaf.unc.edu.ar); Humberto Ramos Quoirin (CONICET, humberto.ramos@usach.cl); Kenichiro Umezu (Universidad de Ibaraki, kenichiro.umezu.math@vc.ibaraki.ac.jp)

Dado $\Omega\subset\mathbb{R}^{N}$, $N\geq1$, un dominio acotado y una función $a\in C\left( \overline{\Omega}\right) $ que cambia de signo en $\Omega$, consideramos diversas cuestiones relacionadas con la existencia de soluciones (estrictamente) positivas para problemas elípticos no lineales de la forma \[ \left\{ \begin{array}{ll} -\Delta u=a\left( x\right) u^{q} & \text{en }\Omega,\\ \frac{\partial u}{\partial\nu}=\alpha u & \text{en }\partial\Omega, \end{array} \right. \] donde $0< q< 1$ y $\alpha\in\left[ -\infty,\infty\right) $ ($\alpha=-\infty$ se entiende como $u=0$ en $\partial\Omega$). Notar que no es posible aplicar el principio del máximo fuerte a estos problemas (de hecho, se puede ver que existen soluciones no negativas que se anulan en partes de $\Omega$). En particular, para $q$ próximo a $1$, probamos resultados de existencia y unicidad de soluciones positivas cuando $\alpha\leq0$, y resultados de existencia y multiplicidad exacta de soluciones positivas cuando $\alpha >0$.\newline Esta comunicación está basada en trabajos conjuntos con Humberto Ramos Quoirin y Kenichiro Umezu.

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Gamma convergence and asymptotic behavior for eigenvalues of nonlocal problems

Juan F. Spedaletti (Departamento de Matematica, Universidad Nacional de San Luis (UNSL)-Instituto de Matemática Aplicada San Luis (IMASL), jfspedaletti@unsl.edu.ar); Julián Fernández Bonder (Departamento de Matematica, Universidad de Buenos Aires (UBA)-Instituto de Investigaciones Matemáticas Luis Santaló (IMAS), jfbonder@dm.uba.ar); Analia C. Silva (Departamento de Matematica, Universidad Nacional de San Luis (UNSL)-Instituto de Matemática Aplicada San Luis (IMASL), analia.silva82@gmail.com)

En este trabajo estudiamos el comportamiento asintótico de diversos problemas que involucran operadores no locales con un enfoque unificado que involucra el concepto de $\Gamma-$convergencia. Este enfoque ya fue desarrollado por Champion y De Pascale [ChaDP]. En este trabajo los autores prueban, en el contexto de problemas de autovalores para el $p-$Laplaciano, un resultado abstracto que permite demostrar de manera unificada comportamiento asintótico de algunos problemas de autovalores que involucran el operador $p-$Laplaciano y que incluyen el caso $p\to\infty$ y algunos resultados de homogeneización.

En recientes años ha crecido el interés en comprender el fenomeno no local y como consecuencia de ello los problemas de autovalores asociados [BPS] entre otros.

Si $\Omega\subset \mathbb{R}^N$ y $F_n\colon L^1(\Omega)\to [0,\infty]$ es una familia de funciones que cumple:

  • A1
    Por cada $n\in\mathbb{N}$, $F_n$ es convexa y 1-homogenea.

  • A2
    Existen constantes $0< \alpha< \beta$ tales que para $n\in\mathbb{N}$ existe $p_n\in[1,\infty]$ y $s_n\in(0,1]$, tal que \[ \begin{array}{rlrl} & \alpha(1-s_n)^\frac{1}{p_n}[v]_{s_n,p_n}\leq F_n(v)\leq\beta(1-s_n)^\frac{1}{p_n}[v]_{s_n,p_n}\mbox{ if } v\in W_0^{s_n,p_n}(\Omega),\\ & F_n(v)=+\infty\mbox{ en otro caso} \end{array} \]

  • A3 Existen $p_0 \in [1,\infty]$ y $s_0\in (0,1]$ tales que las sucesiones $\{p_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ y $\{s_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ dadas en (A2) verifican que $p_n\to p_0$ y $s_n\to s_0$ si $n\to\infty$. Existe $F_0\colon L^1(\Omega)\to [0,\infty]$ tales que $F_n$ $\Gamma-$converge en $L^{p_0}(\Omega)$ (o $C_0(\Omega)$ si $p_0=\infty$) a $F_0$.

    Definimos \[ \begin{array}{rlrl} \mathcal{G}^{k}_{s,p}=\left\{G\subset W_0^{s,p}(\Omega)\colon \begin{array}{l} G=-G \mbox{ cerrado y acotado en }W_0^{s,p}(\Omega) \\ \|u\|_p=1,\ \forall u\in G \mbox{ y }\gamma(G)\geq k\end{array}\right\}, \end{array} \] y por cada $k\in\mathbb{N}$ asociamos con $F_n$ la funcional $J_n^{k}\colon K_{sym}(\Omega)\to[0,\infty]$ definida como \[ J_n^k(G) := \begin{cases} \sup_{v\in G} F_n(v), & G\in \mathcal{G}^k_{s_n,p_n}; \\ +\infty, & \text{en otro caso.} \end{cases} \] donde $K_{sym}(\Omega)$ es la colección de subconjuntos compactos y simétricos de $L^{p_0}(\Omega)$ (o $C_0(\Omega)$ si $p_0=+\infty$).

    Definimos el $k-$ésimo autovalor del funcional $F_n$ como \[ \lambda_n^k := \inf_{G\in K_{sym}(\Omega)} J_n^{k}(G). \] En este contexto, como resultado principal de este trabajo, obtenemos que $\{J_n^{k}\}_{n\in\mathbb{N}}$ es equicoerciva, $\Gamma-\liminf_{n\to\infty} J_n^{k}\geq J_0^{k}$ y \[ \lim_{n\to\infty}\left(\inf_{G\in K_{sym}(\Omega)} J_n^{k}(G)\right) = \inf_{G\in K_{sym}(\Omega)} J_0^{k}(G). \] A partir del mencionado resultado implicamos una serie de problemas conocidos y obtenemos resultados nuevos.

    Bibliografía

    [BPS] Lorenzo Brasco, Enea Parini, and Marco Squassina, Stability of variational eigenvalues for the fractional $p-$Laplacian, Discrete Contin. Dyn. Syst. 36 (2016), no. 4, 1813-1845. MR 3411543

    [ChaDP] Thierry Champion and Luigi De Pascale, Asymptotic behavior of the nonlinear eigenvalue problems involving $p-$laplacian-type operators, Proceedings of the Royal Society of Edimburgh 137A (2017), 1179-1195.

    [DRS] Leandro M Del Pezzo, Julio D Rossi, and Ariel M Salort, Fractional eigenvalue problems that aproximate Steklov eigenvalue problems, Proceedings of the Royal Society of Edimburgh Section A: Mathematics 148 (2018), no. 3, 499-516.

    [LL] Erik Lindgren and Peter Lindqvist, Fractional Eigenvalues, Cal. Var. Partial Differential Equations 49 (2014), no. 1-2, 795-826. MR 3148135

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    Hacia una caracterización de soluciones de ecuaciones no locales de tipo Riccati

    Maria Laura De Borbon (Universidad Nacional de Cuyo. CONICET, laudebor@gmail.com); Pablo Ochoa (Universidad Nacional de Cuyo. CONICET, ochopablo@gmail.com)

    En esta charla discutiremos la existencia y caracterización de soluciones débiles al siguiente problema elíptico y fraccionario

    \[ (-\Delta)^su=|\nabla u|^q + \omega  \  \  (1)\]en $\mathbb{R}^n$, donde el lado izquierdo de la ecuación está dado en términos del Laplaciano fraccionario de orden $s$ con $\frac{1}{2}< s< 1$ y $2s< n$. En el lado derecho, $\omega$ es una medida de Radón no negativa con soporte compacto en $\mathbb{R}^n$ y $q >1$.

    El objetivo principal de este trabajo es obtener una caracterización para las soluciones débiles de (1) mediante una capacidad fraccionaria o, en forma equivalente, a través de propiedades del potencial de Riesz asociado a la medida $\omega$. En este contexto, hemos demostrado una condición suficiente para la existencia de soluciones de esta ecuación en $\mathbb{R}^n$ que involucra una hipótesis sobre el comportamiento puntual del potencial de Riesz correspondiente. Actualmente se está trabajando en la necesidad de esta condición.

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    Harnack inequality and its application to nonlocal eigenvalue problems in unbounded domains

    Gonzalo Davila (Universidad Técnica Federico Santa María, gonzalo.davila@usm.cl); Alexander Quaas (Universidad Técnica Federico Santa María, alexander.quaas@usm.cl); Erwin Topp (Universidad de Santiago de Chile, erwin.topp@usach.cl)

    We prove the Harnack inequality for general nonlocal elliptic equations with zero order term. As an application we prove the existence of the principal eigenvalue in general domains. Furthermore we study the eigenvalue problem associated to the existence of self-similar solutions to the parabolic problem and provide estimates on the decay rate.

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    Large-time behavior of unbounded solutions of viscous Hamilton-Jacobi equations in $\mathbb{R}^N$.

    Guy Barles (Université de Tours, Guy.Barles@lmpt.univ-tours.fr); Alexander Quaas (Universidad Técnica Federico Santa María, alexander.quaas@usm.cl); Andrei Rodríguez (Universidad de Santiago de Chile, andrei.rodriguez.14@sansano.usm.cl)

    We study the behavior as $t\to +\infty$ of unbounded solutions of the so-called viscous Hamilton-Jacobi equation in the whole space $\mathbb{R}^N$, in the superquadratic case; i.e., \[ \begin{array}{rlrl} u_t - \Delta u + |Du|^p= f(x) &\quad\textrm{in }\mathbb{R}^N \times (0,+\infty), \\ u(\cdot, 0) = u_0 &\quad\textrm{in }\mathbb{R}^N, \quad p >2. \end{array} \] Existence and uniqueness of viscosity solutions are shown with natural hypotheses on the initial data and right-hand side ($u_0$ and $f$, respectively). Assuming also a growth condition on the right-hand side, we obtain what is know as ergodic large-time behavior. Joint work with Guy Barles and Alexander Quaas.

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    Multiplicidad de soluciones a un sistema elíptico puro en dominios acotados.

    Jorge Faya (Universidad Austral de Chile, jorge.faya@uach.cl); Mónica Clapp (Universidad Nacional Autónoma de México , monica.clapp@im.unam.mx)

    Estudiamos el sistema elíptico crítico débilmente acoplado \[ \begin{cases} -\Delta u=\mu_{1}|u|^{2^{*}-2}u+\lambda\alpha |u|^{\alpha-2}|v|^{\beta}u & \text{in }\Omega,\\ -\Delta v=\mu_{2}|v|^{2^{*}-2}v+\lambda\beta |u|^{\alpha}|v|^{\beta-2}v & \text{in }\Omega,\\ u=v=0 & \text{on }\partial\Omega, \end{cases}  \  \  (1)\] en donde $\Omega$ es un dominio acotado suave en $\mathbb{R}^{N}$, $N\geq 3$, $2^{*}:=\frac{2N}{N-2}$ es el exponente crítico de Sobolev , $\mu_{1},\mu_{2} >0$, $\alpha, \beta >1$, $\alpha+\beta =2^{*}$ y $\lambda\in\mathbb{R}$.

    Este tipo de sistemas surgen, por ejemplo, en la teoría de Hartree-Fock para dobles condensados, esto es, condensados de Bose Einstein de dos diferentes estados hiperfinos que se superponen en el espacio. El signo de $\mu_{i}$ refleja la interacción de las partículas dentro de cada estado. Esta interacción es atractiva si $\mu_{i}$ es positivo. El signo de $\lambda $ refleja la interaccion de las particulas dentro de cada estado. Esta interacción es repulsiva si $\lambda< 0$ y es atractiva si $\lambda >0$ . Si los condensados se repelen, estos se separan espacialmente. Este fenómeno es llamado separación de fase y ha sido descrito por E. Timmermans.

    Los sistemas elípticos débilmente acoplados han atraído considerablemente la atención en los últimos años. Existe una extensa literatura sobre sistemas subcríticos, especialmente el sistema cúbico (donde $\alpha=\beta=2$ y $2^*$ se reemplaza por $4$) en dimensiones $N\leq 3$. En contraste, hay pocos resultados para sistemas críticos en dimensiones $N >3$.

    En esta charla presentaremos resultados de existencia y multiplicidad de soluciones completamente notriviales para el sistema critico $(1)$ en dominios simétricos en cada dimensión $N\geq3$, que incluyen dominios con simetrías finitas. También mostramos que la solución simétrica de energía mínima exhibe separación de fase a medida que $\lambda$ tiende a $-\infty$

    Este es un trabajo en conjunto con la Profesora Mónica Clapp.

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    Nonlocal shape optimization problems

    Ariel Salort (Universidad de Buenos Aires, asalort@dm.uba.ar)

    Consideramos una clase de funcionales del tipo \[ \Omega \mapsto J(\Omega)=F(\lambda_1(\Omega),\ldots,\lambda_m(\Omega)), \] que cumple ciertas propiedades estructurales, y donde $m\in \mathbb{N}^*$, $\Omega\subset \mathbb{R}^n$, y $\lambda_1(\Omega),\ldots,\lambda_m(\Omega)$ son autovalores de Laplaciano fraccionario.

    En esta charla vamos a discutir bajo que condiciones se puede asegurar que el problema de minimización \[ \min\{F(\Omega)\colon \Omega\in \mathcal{A}(\mathcal{X}), |\Omega|=c \} \] con $\mathcal{A}(\mathcal{X})=\{\Omega\subset \mathcal{X}\colon \Omega \; \;$s-$\text{quasi-open}\}$ tiene solución.

    En particular analizaremos el caso donde $\mathcal{X}\subset D \subset \mathbb{R}^n$ con $D$ acotado, estudiado en [1], y el caso donde $\mathcal{X}\subset D \subset \mathbb{R}^n$ con $D$ de medida finita, estudiado en [2].



    [1] Bonder, J. F., Ritorto, A. and Salort, A. M. A class of shape optimization problems for some nonlocal operators. Advances in Calculus of Variations, 11(4), 373-386.

    [2] E. Parini and A. Salort. Compactness and dichotomy in nonlocal shape optimization. Preprint. arxiv.org/abs/1806.01165

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    On the mean field equation with variable intensities on pierced domains.

    Pierpaolo Esposito (Università degli Studi Roma Tre, Italia, esposito@mat.uniroma3.it); Pablo Figueroa (Universidad Católica Silva Henríquez, Chile, pfigueroas@ucsh.cl); Angela Pistoia (Università di Roma La Sapienza, Italia, angela.pistoia@uniroma1.it)

    We consider the mean field equation of the equilibrium turbulence with variable intensities and Dirichlet boundary condition on a pierced domain $\Omega_\varepsilon:=\Omega\setminus \cup_{i=1}^m \overline{B(\xi_i,\varepsilon_i)}$: \[ \left\{ \begin{array}{ll} -\Delta u=\lambda_1\dfrac{V_1(x) e^{u}}{ \int_{\Omega_\varepsilon} V_1(z) e^{u} dz} - \lambda_2\tau \dfrac{ V_2(x) e^{-\tau u}}{ \int_{\Omega_\varepsilon}V_2(z) e^{ - \tau u} dz}&\text{in }\Omega_\varepsilon,\\  \ u=0 &\text{on }\partial \Omega_\varepsilon, \end{array} \right.  \  \  (1)\] where $\Omega$ is a smooth bounded domain in $\text{IR}^2$, $B(\xi_i,\varepsilon_i)$ is a ball centered at $\xi_i\in\Omega$ with radius $\varepsilon_i=\varepsilon_i(\varepsilon) >0$, $i=1,\dots,m$, depending on some $\varepsilon >0$ small enough, $V_1$ and $V_2$ are positive smooth bounded functions in $ \bar\Omega$ and $\tau >0$. Given $m$ different points $\xi_i$, $i=1,\dots,m$, $\lambda_1 >8\pi m_1$ and $\lambda_2\tau^2 >8\pi m_2$ with $m=m_1+m_2$ and $m_i\in \mathbb N\cup\{0\}$, we have found suitable radii $\varepsilon_i$, $i=1,\dots,m$ such that for $\varepsilon >0$ small enough problem (1) has a solution $u_\varepsilon$ in $\Omega_\varepsilon$ blowing up positively around each $\xi_1,\dots,\xi_{m_1}$ and negatively around $\xi_{m_1+1},\dots,\xi_m$ respectively, as $\varepsilon\to0$. We have used a family of solutions of the singular Liouville equation \begin{equation*} \Delta u+|x -\xi|^{\alpha-2}e^{u}=0 \quad\text{ in $\text{IR}^2$, }\quad\text{satisfying}\qquad \displaystyle\int_{\text{IR}^2} |x -\xi |^{\alpha-2} e^u <+\infty \end{equation*} to construct an approximation of the solution depending on some parameters, suitable projected and scaled in order to make the error small enough in a suitable norm. Hence, we have found an actual solution as a small additive perturbation of this initial approximation by using a perturbative approach and a fixed point argument.

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    On the uniqueness of bound state solutions of a semilinear equation with weights

    Carmen Cortázar (P. Universidad Católica de Chile, ccortaza@mat.uc.cl); Marta García-huidobro (P. Universidad Católica de Chile, mgarcia@mat.uc.cl); Pilar Herreros (P. Universidad Católica de Chile, pherrero@mat.uc.cl)

    We consider radial solutions of a general elliptic equation involving a weighted Laplace operator. We establish the uniqueness of the radial bound state solutions to \[ \mbox{div}\big(\mathsf A\,\nabla v\big)+\mathsf B\,f(v)=0\,,\quad\lim_{|x|\to+\infty}v(x)=0,\quad x\in\mathbb R^n,\qquad(P) \] $n >2$, where $\mathsf A$ and $\mathsf B$ are two positive, radial, smooth functions defined on $\mathbb R^n\setminus\{0\}$. We assume that the nonlinearity $f\in C(-c,c)$, $0< c\le\infty$ is an odd function satisfying some convexity and growth conditions, and has a zero at $b >0$, is non positive and not identically 0 in $(0,b)$, positive in $(b,c)$, and is differentiable in $(0,c)$.

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    Problemas indefinidos que involucran al $ \phi $-Laplaciano

    Leandro Agustin Milne ( CIEM - UNC, milne.leandro@gmail.com); Uriel Kaufmann (CIEM - UNC, kaufmann@mate.uncor.edu)

    Sean $ \Omega:=(a,b)\subset \mathbb{R}, m \in L^1(\Omega) $ y $ \phi: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ un homeomorfismo creciente e impar. Estudiamos la existencia de soluciones positivas a problemas no lineales de la forma \[ \left\{\begin{array}{ll} -\phi(u')'=m(x)f(u) & \text{ en } \Omega, \\ u=0 & \text{ en } \partial \Omega, \end{array}\right. \] donde $ f:[0,\infty)]\rightarrow [0,\infty) $ es una función continua superlineal con respecto a $ \phi $. Los resultados fueron obtenidos combinando el Teorema de punto fijo de Guo-Krasnosel'skiĭ con algunas estimaciones de un problema no lineal relacionado. Mencionamos que dichos resultados son nuevos incluso en el caso $ m\ge 0 $ y aparecen en U. Kaufmann, L. Milne, On one-dimensional superlinear indefinite problems involving the $ \phi $-Laplacian, J. Fixed Point Theory and Appl. (2018) 20. 134.

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    Solución de ecuaciones en derivadas parciales de Poisson y Klein-Gordon con condiciones de Neumann como problema generalizado de momentos bidimensional.

    María Beatriz Pintarelli (Dep. de Matemática, Fac. de Ciencias Exactas , UNLP y Fac. de Ingenieria , UNLP, mariabpintarelli@gmail.com)

    Una ecuacion en derivadas parciales de Poisson de la forma $w_{xx}+w_{tt}=f(x,t)$ o de Klein-Gordon de la forma $w_{xx}-w_{tt}=f(x,t)$ donde la funcion desconocida $ w(x,t)$ es definida en $E=(a_{1},b_{1})\times (a_{2},b_{2})$ o $E=(a_{1},b_{1})\times (a_{2},\infty)$ bajo las condiciones de Neumann pueden ser resueltas numericamente por aplicar tecnicas de problema inverso de momentos.
    Especificamente, por ejemplo, resolver la ecuacion \[ w_{xx}+w_{tt}=f(x,t)\] con dominio \[ E=(a_{1},b_{1})\times (a_{2},b_{2})\] y condiciones \begin{equation*} w_{x}(a_{1},t)=k_{1}(t) \qquad w_{x}(b_{1},t)=k_{2}(t) \end{equation*} \begin{equation*} w_{t}(x,a_{2})=h_{1}(t) \qquad w_{x}(x,b_{2})=h_{2}(t) \end{equation*} \begin{equation*} w(x,a_{2})=s_{1}(t) \qquad w(x,b_{2})=s_{2}(t) \end{equation*} es equivalente a resolver la ecuacion integral \begin{equation*} \iint_{E}w(x,t) u(m,n,x,t)dA=\dfrac{\varphi (m,n)}{\left[-\left( \dfrac{\pi m}{b_{1}}\right) ^{2}+t^{2}\right]} \end{equation*} donde \[ u(m,n,x,t)=cos\left( \frac{m \pi x}{b_{1}}\right) Exp[-nt]\] es una funcion auxiliar y $\varphi (m,n)$ depende de las condiciones dadas y de $f(x,t)$.
    Esta ecuacion integral puede ser resuelta numericamente por aplicar tecnicas de problema inverso de momentos, y obtenemos una solución aproximada para $w(x,t)$.
    Analogamente para el caso de una ecuacion de Klein-Gordon.
    Se ilustra el metodo con ejemplos.

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    Soluciones que se concentran para la ecuación de Yamabe en una variedad producto

    Carolina Ana Rey (UBA, carey@dm.uba.ar); Juan Miguel Ruiz (UNAM, mruiz@enes.unam.mx)

    El problema de Yamabe es un problema que proviene de la geometría diferencial y tiene una formulación equivalente en EDP. Resolver el problema equivale a resolver una ecuación diferencial conocida como ecuación de Yamabe. Las soluciones positivas a la ecuación de Yamabe en una variedad Riemanniana producen métricas de curvatura escalar constante en la clase conforme. Este problema fue resuelto completamente entre 1960 y 1984 con los trabajos de Yamabe, Trudinger, Aubin y Schoen. Es decir, siempre existe al menos una solución positiva a la ecuación de Yamabe. En esta charla estudiaremos multiplicidad de soluciones positivas para la ecuación de Yamabe en una variedad producto $M\times N$. Comenzaremos construyendo soluciones aproximadas y emplearemos el procedimiento de reducción de Lyapunov-Schmidt para encontrar soluciones que tengan varios picos concentrándose en puntos críticos de la curvatura escalar de $M$. También mostramos que las soluciones con poca energía sólo tienen un máximo local.

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    Some results for the large time behavior of Hamilton-Jacobi Equations with Caputo Time Derivative

    Erwin Topp (Universidad de Santiago de Chile, erwin.topp@usach.cl)

    We obtain some Hölder regularity estimates for an Hamilton-Jacobi with fractional time derivative of order $\alpha \in (0,1)$ cast by a Caputo derivative. The Hölder seminorms are independent of time, which allows to investigate the large time behavior of the solutions. We focus on the Namah-Roquejoffre setting whose typical example is the Eikonal equation. Contrary to the classical time derivative case $\alpha=1$, the convergence of the solution on the so-called projected Aubry set, which is an important step to catch the large time behavior, is not straightforward. Indeed, a function with nonpositive Caputo derivative for all time does not necessarily converge; we provide such a counterexample. However, we establish partial results of convergence under some geometrical assumptions.

    This is a joint work with Olivier Ley (INSA-Rennes, France) and Miguel Yangari (EPN, Ecuador).

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    Stabilization of the Kuramoto-Sivashinsky equation with a delayed boundary control

    Patricio Guzmán (Universidad Técnica Federico Santa María, patricio.guzmanm@usm.cl)

    In this talk we will discuss about the stabilization of the Kuramoto-Sivashinsky equation, which is a nonlinear fourth-order parabolic equation. We will show how to use the Artstein transform, the pole-shifting theorem and Halanay inequality to exponential stabilize the equation with a boundary control possessing a positive constant delay in its argument.

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    Teoría de juegos y soluciones viscosas para un sistema de ecuaciones diferenciales parciales.

    Alfredo Miranda (Universidad de Buenos Aires, manfredpichota@gmail.com)

    Abstract: El objetivo del trabajo es obtener un par de funciones $(u,v)$ continuas que sean soluciones viscosas de un sistema de ecuaciones diferenciales parciales que utilice los operadores Laplaciano e Infinito Laplaciano. Para eso utilizaremos como aproximaciones las funciones valor de un juego teórico con dos tableros. En cada tablero jugaremos con reglas diferentes dentro de un conjunto abierto y acotado $\Omega$, y diferentes pagos finales dados por dos funciones $f$ y $g$ fuera de $\Omega$, permitiendo la posibilidad de ”saltar” de un tablero al otro .
    Para llegar al operador Laplaciano utilizaremos en un tablero las reglas de paseos al azar con paso de tamaño $\epsilon$. En el otro tablero jugaremos con las reglas denominadas Tug-of-War, ver [1], [2], que nos llevarán al operador Infinito Laplaciano. El sistema que obtenemos en el limite cuando $\epsilon\to 0$ de las funciones valor es \[ \left\lbrace \begin{array}{ll} - \displaystyle \frac{1}{2} \Delta_{\infty}u(x) + u(x) - v(x)=0 \qquad &  {si }  x \in \Omega \\ - \displaystyle \frac{\kappa}{2} \Delta v(x) + v(x) - u(x)=0 \qquad &  {si }  x \in \Omega \\ u(x) = f(x) \qquad &\ {si }  x \in \partial \Omega \\ v(x) = g(x) \qquad &\ {si }  x \in \partial \Omega \end{array} \right. \] donde $\kappa$ es una constante que solo depende de la dimensión del espacio.



    Trabajo conjunto con Julio D. Rossi.





    [1] J. J. Manfredi, M. Parviainen and J. D. Rossi. On the definition and properties of p-harmonious functions. Ann. Scuola Nor. Sup. Pisa, 11, (2012), 215--241.



    [2] Y. Peres, O. Schramm, S. Sheffield and D. Wilson, Tug-of-war and the infinity Laplacian. J. Amer. Math. Soc., 22, (2009), 167--210.

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    The obstacle problem for a class of degenerate fully nonlinear operators

    Hernán Agustín Vivas (IMAS - Conicet, havivas@mdp.edu.ar); João Vitor Da Silva (Departamento de Matemática - Instituto de Ciencias Exatas - Universidade de Brasília, J.V.Silva@mat.unb.br)

    We study the obstacle problem for fully nonlinear elliptic operators with an anisotropic degeneracy on the gradient: \[ \left\{ \begin{array}{rcll} \min\left\{f-|Du|^\gamma F(D^2u),u-\phi\right\} & = & 0 & \textrm{ in } \Omega \\ u & = & g & \textrm{ on } \partial \Omega. \end{array}\right. \] We obtain existence of solutions and prove sharp regularity estimates along the free boundary points, namely $\partial\{u >\phi\} \cap \Omega$. In particular, for the homogeneous case ($f\equiv0$) we get that solutions are $C^{1,1}$ at free boundary points, in the sense that they detach from the obstacle in a quadratic fashion, thus beating the optimal regularity allowed for such degenerate operators. We also present further features of the solutions and partial results regarding the free boundary.

    These are the first results for obstacle problems driven by degenerate type operators in non-divergence form and they are a novelty even for the simpler scenario given by an operator of the form $\mathcal{G}[u] = |Du|^\gamma\Delta u$.

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    Un resultado de existencia para una ecuación en forma de divergencia con una nolineadad superlineal en cero.

    Leonelo Iturriaga (Universidad Técnica Federico Santa María, leonelo.iturriaga@usm.cl); Patricio Cerda (Universidad de Santiago de Chile, patricio.cerda@usach.cl)

    En esta charla estudiaremos existencia de soluciones débiles a la ecuación cuasilineal \[ \begin{cases} -\mbox{div} (a(|\nabla u|^2)\nabla u)=\lambda f(x,u) &\mbox{en }\Omega\\ u=0 &\mbox{en }\partial\Omega \end{cases} \] donde $a:\mathbb{R}\to [0,\infty)$ es una función continua no creciente que es positiva en el origen, el termino no lineal $f:\Omega\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ es una función de Carathéodory que es superlineal en cero, y $\lambda$ es un parámetro positivo. El resultado de existencia recae en estimativas de la norma $C^1$ junto con argumentos variacionales.

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    • UMA SOMACHI
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