Resúmenes

Probabilidad

Ordenados alfabéticamente por título.
Por modificaciones, comunicarse al correo del Noticiero UMA (uma.noticiero@gmail.com).

• Clustering espectral: probabilidad y EDPs para probar consistencia en un problema de machine learning.
• Límite fluido para la fase de agrupación del proceso de zero range con condensación
• Thermostated Kac model with rescaling
• Two examples of convergence to the Burgers equation
• Unicidad de la distribución cuasi-estacionaria en el proceso de contacto módulo traslaciones
• Visualizando Generalizaciones del Problema del Reparto de la Apuesta en un Juego Interrumpido

Clustering espectral: probabilidad y EDPs para probar consistencia en un problema de machine learning.

Pablo Groisman (DM Exactas UBA e IMAS-CONICET, pgroisma@dm.uba.ar)

Spectral clustering es un método para encontrar grupos “no lineales” en conjuntos grandes de datos. Se basa en tener una noción de similaridad para cada par de datos y usar esa similaridad para construir un laplaciano discreto. Luego se calculan los autovalores y autovectores del laplaciano discreto y se utlizan para determinar los grupos. Hay muchos resultados de consistencia (convergencia) para estos métodos pero todos asumen que la cantidad de “vecinos” tiende a infinito junto con el tamaño de la muestra. Mostraremos que esta hipótesis puede ser removida. La técnica consiste en probar un principio de invarianza para el paseo al azar definido por la noción de similaridad y un resultado de convergencia de autovalores (y autovectores) que no precisa la convergencia del laplaciano. Es un trabajo en progreso

Resumen en PDF

Límite fluido para la fase de agrupación del proceso de zero range con condensación

Daniela Cuesta (IMAS Conicet - UBA, dcuesta@dm.uba.ar); Inés Armendáriz (IMAS Conicet - UBA, iarmend@dm.uba.ar); Milton Jara (IMPA, monets@impa.br)

En este trabajo probamos que la dinámica de agrupación del proceso de zero range en una cantidad finita de sitios y cantidad de partículas N tendiendo a infinito, es descrita por un límite fluido, cuando el tiempo es escalado linealmente en N. Según este límite, a un tiempo finito determinado por la distribución inicial de partículas, se alcanza un estado en el que la totalidad de las partículas se concentra en sitios que reciben peso maximal bajo la medida invariante del paseo aleatorio subyacente. Trabajo en proceso en colaboración con I. Armendáriz y M. Jara.

Resumen en PDF

Thermostated Kac model with rescaling

Roberto Cortez (Universidad Andrés Bello, robertoamaru.cortez@gmail.com); Hagop Tossounian (DIM-CMM, Universidad de Chile, htossounian@dim.uchile.cl)

We consider the thermostated Kac model, which describes the evolution of the velocity distribution of particles in a one-dimensional spatially homogeneous caricature of a gas, represented as a large collection of identical particles undergoing random energy-preserving binary collisions and also interactions against an external thermostat. In this work we introduce a rescaling mechanism on the model, which has the effect of restoring the total energy, and produces an additional drift term in the associated kinetic equation. We prove convergence towards a unique equilibrium distribution, which exhibits properties that can differ from the classical Gaussian equilibrium. We also study a finite $N$-particle system approximation, and prove that it satisfies the propagation of chaos property: as $N\to\infty$, the empirical measure of the system converges to the solution of the kinetic equation.

Resumen en PDF

Two examples of convergence to the Burgers equation

Gregorio Moreno Flores (PUC - Chile, grmoreno@mat.uc.cl); Milton Jara (IMPA, mjara@impa.br)

We consider the stationary Sasamoto-Spohn model and the stationary semi-continuous directed polymer in a Brownian environment. In both cases, we show convergence of the fluctuation field to the energy solution of Burgers equation in an appropriate regime.

This is joint work with Milton Jara (IMPA).

Resumen en PDF

Unicidad de la distribución cuasi-estacionaria en el proceso de contacto módulo traslaciones

Franco Arrejoria (IMAS-CONICET, francoarrejoria@gmail.com); Pablo Groisman (IMAS-CONICET, pgrosima@dm.uba.ar); Leonardo Rolla (IMAS-CONICET and NYU-ECNU Institute of Mathematical Sciences at NYU Shanghai, leorolla@dm.uba.ar)

El proceso de contacto es uno de los sistemas de partículas más estudiados y modela la propagación de una enfermedad en una cierta población. Identificamos a un individuo de la población con un punto $x\in \mathbb{Z}^d$ y a la población infectada a tiempo $t$ la notamos por $\eta_t \subseteq \mathbb{Z}^d$. Un individuo infectado infecta a cada uno de sus vecinos a tasa $\lambda >0$ y se cura a tasa 1.

Es sabido que el proceso de contacto muestra un cambio de fase: existe un valor crítico $0< \lambda_c < \infty$ tal que para $\lambda >\lambda_c$ el proceso tiene una distribución invariante soportada en configuraciones con infinitos individuos infectados, mientras que para $\lambda < \lambda_c$, la única distribución estacionaria está soportada en la configuración vacía $\emptyset$.

En este trabajo nos centramos en el caso $\lambda < \lambda_c$ al que llamamos subcrítico. En estas condiciones, toda configuración inicial con finitos individuos infectados desaparece casi seguramente ($c.s$) en tiempo finito. En ausencia de una distribución estacionaria no trivial tiene sentido estudiar el comportamiento cuasi-estacionario del sistema: dado un proceso $(\zeta_t)_{t\geq 0}$ que es absorbido $c.s$ por un estado $\emptyset$, decimos que una distribución $\nu$ es una distribución cuasi-estacionaria (QSD) si el proceso, comenzando con $\nu$, satisface $\mathbb{P}^{\nu}(\zeta_t \in \cdot | \zeta_t \neq \emptyset ) = \nu$.

El proceso $(\eta_t)_{t\geq 0}$ descripto anteriormente es muy rígido para tener una QSD, ya que condicionando al evento poco probable $\eta_t\neq \emptyset$, si bien tipicamente van a haber pocos sitios infectados, estos no van a poder localizarse en una región determinada. En este contexto, consideremos el proceso de contacto módulo traslaciones en $\mathbb{Z}^d$, al que notamos $(\zeta_t)_{t\geq 0}$, que resulta de identificar en $\eta_t$ las configuraciones que son traslaciones una de la otra. A diferencia de las distribuciones estacionarias, un proceso de Markov irreducible puede tener ninguna, una o infinitas distribuciones cuasi-estacionarias.

En este trabajo mostramos que, para el proceso de contacto módulo translaciones, existe una única QSD.

Resumen en PDF

Visualizando Generalizaciones del Problema del Reparto de la Apuesta en un Juego Interrumpido

Marìa Elena Mena (Universidad Nacional de Salta, malepinty@gmail.com); Pablo Fernando Quintana (Universidad Nacional de Salta, pablofernando3094@gmail.com)

Enseñar probabilidad mediante el recurso de los juegos de azar, es una de las actividades más amenas dentro de la clase de matemática y tal recurso, puede ser aprovechado para incorporar situaciones problemáticas históricas de la probabilidad que están quedando en el olvido, como es el problema del “reparto de la apuesta en un juego interrumpido”. Si bien se publicaron soluciones a dicho problema en la época del Renacimiento y en el siglo XVII, estas solo fueron para casos particulares. En este caso, se pretende recuperar tal problema y partir de esas soluciones de casos particulares para analizar otros posibles resultados del juego al momento de interrumpirse, calcular las probabilidades de ganar que tienen los dos jugadores que intervienen en el juego y, con estas probabilidades, realizar un justo reparto de la apuesta. Estos resultados seguirán un determinado patrón numérico que permitirán establecer diversas generalidades y la visualización de estos, es el objetivo central de esta comunicación. También, se sabe que las nuevas tecnologías revolucionaron la enseñanza y el aprendizaje de la matemática, y es por eso que también se presente visualizar resultados con diversos programas (cómo por ejemplo Minitab, Microsoft Excel y Matlab), que permitirá a su vez realizar simulaciones de situaciones de azar para apoyar en la toma de decisiones. De esta forma, se podrá trabajar el problema del reparto de la apuesta aprovechando al máximo las situaciones que derivan de éste, adaptando de manera apropiada la tecnología a los conceptos probabilísticos para su enseñanza en el nivel superior. Finalmente se estudiarán otros aspectos del problema como por ejemplo la variación de la cantidad de participantes en donde se trabajará con un espacio muestral infinito numerable, la teoría de grafos y las series geométricas. De esta manera, el problema del reparto de la apuesta abre más caminos para la enseñanza de la probabilidad vinculándola con herramientas de otras disciplinas, mostrando a la Matemática como un todo.

Resumen en PDF

Ir arriba