Resúmenes

Lógica y Computabilidad

Ordenados alfabéticamente por título.
Por modificaciones, comunicarse al correo del Noticiero UMA (uma.noticiero@gmail.com).

• A topological approach to tense $n\times m$-valued \L ukasiewicz--Moisil algebras
• Álgebras de Hilbert prelineales con sucesor
• Algunos resultados modelo-teóricos para la lógica paraconsistente $\mathsf{QCiore}$
• Congruencias en las $Q L^{m}_n$--algebras
• Dominios en Quasivariedades Filtrales
• Dualidad topológica para semi-retículos y retículos
• Estructuralidad y Finitariedad de las lógicas definidas por operadores $M[T]$
• Fórmulas sinónimas y categorías de lógicas invariantes por sustituciones
• La estructura twist de álgebras tipo-Nelson
• Medibilidad de las clases de bisimilitud en NLMP.
• Modelos de Fidel para la lógica de primer orden $C_\omega$ de da Costa
• MV-álgebras Pseudomonádicas y marcos de Kripke \L$_n$-valuados
• Posets asociativos
• Superfluidad en el Segundo Nivel de la Jerarquía Polinomial
• Tense Nelson algebras
• Teoremas de completitud de lógicas monádicas vía álgebras funcionales
• Valuaciones no Homomórficas y Decidibilidad en la Lógica $C_1$

A topological approach to tense $n\times m$-valued \L ukasiewicz--Moisil algebras

Gustavo Pelaitay (Instituto de Ciencias Básicas, Universidad Nacional de San Juan, figallopelaitay@gmail.com); Aldo Victorio Figallo (Instituto de Ciencias Básicas, Universidad Nacional de San Juan, avfigallo@gmail.com); Inés Pascual (Instituto de Ciencias Básicas, Universidad Nacional de San Juan, ipascualdiz@gmail.com)

{In 1975, Suchoń ([9]) defined matrix Ł ukasiewicz algebras so generalizing $n$-valued Ł ukasiewicz algebras without negation ([6]). In 2000, A. V. Figallo and C. Sanza ([4]) introduced $n\times m$-valued Ł ukasiewicz algebras with negation which are both a particular case of matrix Ł ukasiewicz algebras and a generalization of $n$-valued Ł ukasiewicz--Moisil algebras ([1]). It is worth noting that unlike what happens in $n$-valued Ł ukasiewicz--Moisil algebras, generally the De Morgan reducts of $n\times m$-valued Ł ukasiewicz algebras with negation are not Kleene algebras. Furthermore, in [7] an important example which legitimated the study of this new class of algebras is provided. Following the terminology established in [1], these algebras were called $n\times m$-valued Ł ukasiewicz--Moisil algebras (or LM$_{n\times m}$-algebras for short).

In [3], tense $n\times m$-valued Ł ukasiewicz--Moisil algebras (or tense $LM_{n\times m}$-algebras) were introduced by A. V. Figallo and G. Pelaitay as an generalization of tense $n$-valued Ł ukasiewicz-Moisil algebras [2]. In this paper we continue the study of tense $LM_{n\times m}$-algebras. More precisely, we determine a Priestley-style duality for these algebras. This duality enables us not only to describe the tense $LM_{n\times m}$-congruences on a tense $LM_{n\times m}$-algebra, but also to characterize the simple and subdirectly irreducible tense $LM_{n\times m}$-algebras.

Bibliografía

[1] V. Boicescu, A. Filipoiu, G. Georgescu and S. Rudeanu, {Ł}ukasiewicz--Moisil Algebras, Annals of Discrete Mathematics 49, North - Holland, 1991.

[2] D. Diaconescu and G. Georgescu, { Tense operators on $MV$-algebras and Ł ukasiewicz--Moisil algebras}, Fund. Inform. {81} (4), 379--408, (2007).

[3] A. V. Figallo and G. Pelaitay, A representation theorem for tense $n\times m$-valued Ł ukasiewicz--Moisil algebras, Math. Bohem., {140} (3), 345--360, (2015).

[4] A.V. Figallo and C. Sanza: Álgebras de Ł ukasiewicz $n\times m$-valuadas con negación, Noticiero de la Unión Matemática Argentina , 93, 2000.

[5] A. V. Figallo and G. Pelaitay: A representation theorem for tense $n\times m$-valued Ł ukasiewicz--Moisil algebras, Mathematica Bohemica, 140 (3), 345--360, 2015.

[6] Gr. C. Moisil: Essais sur les logiques non Chrysippiennes, Bucarest, 1972.

[7] C. Sanza: Notes on $n\times m$-valued Ł ukasiewicz algebras with negation, Logic Journal of the IGPL, 6, 12, 499--507, 2004.

[8] C. Sanza: $n\times m$-valued Ł ukasiewicz algebras with negation, Reports on Mathematical Logic, 40, 83--106, 2006.

[9] W. Suchoń: Matrix {Ł}ukasiewicz Algebras, Reports on Mathematical Logic, 4, 91-104, 1975.

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Álgebras de Hilbert prelineales con sucesor

José Luis Castiglioni (UNLP-Conicet, jlc@mate.unlp.edu.ar); Hernán Javier San Martín (UNLP-Conicet, hernan_sm5@hotmail.com)

En esta comunicación mostraremos una descripción explícita del adjunto a izquierda del funtor de olvido de la categoría algebraica de las álgebras de Gödel con sucesor (o KM-álgebras prelineales) en la categoría algebraica de las álgebras de Hilbert con sucesor. Como aplicación de esta construcción, mostraremos cómo dar una descripción explícita del coproducto de dos álgebras finitas en la categoría algebraica de las álgebras de Hilbert con sucesor.

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Algunos resultados modelo-teóricos para la lógica paraconsistente $\mathsf{QCiore}$

Germán Tadeo Gomez Pereira (Universidad Nacional del Sur (UNS), tadeogerman@gmail.com); Martín Figallo (Universidad Nacional del Sur (UNS), figallomartin@gmail.com); Marcelo Coniglio (Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP), meconiglio@gmail.com)

Presentamos un estudio de la lógica de primer orden paraconsistente y 3-valorada $\mathsf{QCiore}$. La semántica de $\mathsf{QCiore}$ está dada por estructuras parciales, que son estructuras de primer orden en las que cada predicado $n$-ario $R$ es interpretado como una terna de conjuntos de $n$-uplas disjuntos dos a dos representando, respectivamente, el conjunto de tuplas que pertenecen a $R$, el conjunto de tuplas que no pertenecen a $R$ y el conjunto de aquellas tuplas cuya pertenencias es dudosa o contradictoria. Este enfoque semántico nos permitió obtener algunos resultados importantes de Teoría de Modelos Clásica (en el contexto de $\mathsf{QCiore}$) tales como el Teorema de la consistencia conjunta de Robinson, Teorema de interopoliación de Craig y la propiedad de Amalgamación, entre otros.

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Congruencias en las $Q L^{m}_n$--algebras

Carlos Alberto Gallardo (Universidad Nacional del Sur, gallardosss@gmail.com); Alicia Ziliani (Universidad Nacional del Sur, aziliani@gmail.com)

En [5] A.V. Figallo y A. Ziliani introdujeron los retículos distributivos monádicos (o $M$-retículos) y continuaron con el estudio de los mismos en [4]. Posteriormente, A.V. Figallo, P. Landini y A. Ziliani ([3]) definieron las álgebras de Ockham con una operación adicional (o $qO$--álgebras). Estas variedades son generalizaciones de los $Q$--retículos distributivos introducidos por R. Cignoli ([1]). Por otra parte, como las álgebras de Lukasiewicz $m-$generalizadas de orden $n$ (o $L^{m}_n$--álgebras) tienen un reducto que pertenece a la subvariedad de las álgebras de Ockham ${\mathcal K}_{m,0}$ con $m\geq 1$, formada por aquellas que satisfacen la identidad adicional $f^{2m}(x)=x$, donde $f^{0}(x)=x$ y $f^{n+1}(x)=f(f^{n}(x))$ para todo $n\geq 0$, introducimos las $Q$-álgebras de {Ł}ukasiewicz $m$ generalizadas de orden $n$ (o $QL^{m}_n$--álgebras). Esta nueva variedad se obtiene adicionando un cuantificador a las operaciones de una $L^{m}_n$-álgebra. En esta nota describimos el retículo de las congruencias a partir de ciertos subconjuntos especiales del álgebra y caracterizamos a las con\-gruen\-cias principales. Además, probamos que esta variedad es discriminadora.

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Bibliografía

1. R. Cignoli, Quantifiers on distributive lattices, Discrete Math., 96 (1991), 183–-197.
2. A.V. Figallo, C. Gallardo and A. Ziliani, Weak implication on generalized Lukasiewicz algebras of order n, Bulletin of the Section of Logic., 39 (2010), 187--198.
3. A.V. Figallo, P. Landini, Alicia Ziliani, Ockham algebras with additional operators, Logic journal of the IGPL, 12, 6 (2004), 447–-459.
4. A.V. Figallo, I. Pascual and A. Ziliani, Monadic Distributive Lattices, Logic Journal of IGPL, 15 (2007), 535–-551.
5. A.V. Figallo and A. Ziliani, Monadic Distributive Lattices. Preprints Del Instituto de Ciencias Básicas, U. N. de San Juan, Argentina, 2, 1(1997), 19–-35.
6. J. Vaz De Carvalho, Congruences on algebras of $K_{n,0}$, Bull. Soc. Roy. Sci. Liège 53 (1985), 301--303.

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Dominios en Quasivariedades Filtrales

Miguel Campercholi (FAMAF - CONICET, mcampercholi@yahoo.com)

Sean $\mathbf{A}\leq\mathbf{B}$ estructuras, y $\mathcal{K}$ una clase de estructuras. Un elemento $b\in B$ is dominado por $\mathbf{A}$ relativo a $\mathcal{K}$ si para todo $\mathbf{C}\in\mathcal{K}$ y todo par de homomorfismos $g,g^{\prime}:\mathbf{B}\rightarrow\mathbf{C}$ que coinciden en $A$, vale que $gb=g^{\prime}b$. Sea $\mathcal{D}_{01}$ la variedad de reticualdos distributivos acotados, sea $\mathbf{B}:=\mathbf{2}\times\mathbf{2}$, y sea $\mathbf{A}$ el subreticulado de $\mathbf{B}$ con universo $\{\left\langle 0,0\right\rangle ,\left\langle 0,1\right\rangle ,\left\langle 1,1\right\rangle \}$. Como los homomorfismos en $\mathcal{D}_{01}$ llevan pares de elementos complementados en pares de elementos complementados y los complementos son únicos, se sigue que $\left\langle 1,0\right\rangle \in\mathrm{dom}_{\mathbf{B}}^{\mathcal{K}}\mathbf{A}$. La propiedad crucial utilzada en el argumento anterior es que $\left\langle 1,0\right\rangle $ es generado por $A$ si se a\ {n}ade la operación de complementación a $\mathbf{B}$. Ya que esta operación (parcial) está definida en cada estructura de $\mathcal{D}_{01}$ por la conjunción de fórmulas atómicas \[ \varphi(x,y):=x\wedge y=0\,\&\,x\vee y=1, \] sabemos que es preservada por homomorfismos. Esta situación puede generalizarse de la siguiente manera. Una quasivariedad $\mathcal{Q}$ es filtral si es semisimple, la clase de sus álgebras simples es universal, y es de congruencias distributivas. Por ejemplo, $\mathcal{D}_{01}$ is una quasivariedad filtral. En la charla presentaremos el siguiente resultado y algunas de sus aplicaciones.

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Dualidad topológica para semi-retículos y retículos

Luciano Javier Gonzalez (Universidad Nacional de La Pampa, lucianogonzalez@exactas.unlpam.edu.ar); Sergio Celani (Universidad Nacional del Centro de la Provincia de Buenos Aires, scelani@exa.unicen.edu.ar)

Las famosas dualidades topológicas desarrolladas por Stone [10] y Priestley [9] para retículos distributivos han sido extensivamente generalizadas a diversas estructuras algebraicas ordenadas [2, 1, 4, 5, 3]. En las dualidades de Stone y Priestley los espacios duales están formados por los filtros primos y la distributividad garantiza un teorema de separación (Teorema del Filtro Primo).

En cambio, con la ausencia de una condición de distributividad de algún tipo, la generalización de las dualidades de Stone y Priestley se vuelve mucho más dificultosa. En el caso particular de retículos arbitrarios (no necesariamente distributivos), se han desarrollado diferentes dualidades topológicas siguiendo un enfoque algo diferente al de Stone y Priestley. Por ejemplo, dualidades topológicas donde los objetos duales a los retículos son estructuras ternarias $(X,Y,R)$ (polaridades) con $X$ siendo el espacio de filtros (todos), $Y$ el espacio de ideales (todos) y $R\subseteq X\times Y$ [6, 7]. Otra dualidad recientemente presentada en la literatura es la de Moshier y Jipsen [8] para semi-retículos y retículos, donde los espacios duales están formados por todos los filtros. En este caso, la dualidad de Moshier y Jipsen no generaliza la dualidad de Stone ni de Priestley para retículos distribtivos (ni en el caso booleano).

En esta comunicación presentaremos una nueva dualidad topológica para la clase de todos los semi-retículos y retículos. En lugar de utilizar como puntos del espacio dual los filtros primos como en el caso de Stone, utilizaremos los filtros irreducibles, para los cuales existe un tipo de teorema de separación. Mostraremos que esta dualidad efectivamente generaliza a la dualidad de Stone para retículos distributivos.

Bibliografía

[1] G. Bezhanishvili and R. Jansana. Priestley style duality for distributive meet-semilattices. Studia Logica, 98(1-2):83--122, 2011.

[2] S. Celani. Topological representation of distributive semilattices. Sci. Math. Jpn., 58(1):55--66, 2003.

[3] S. Celani and L. J. González. A topological duality for mildly distributive meet-semilattices. Rev. Un. Mat. Argentina, 59(2):265--284, 2018.

[4] M. Esteban. Duality theory and {Abstact} {Algebraic} {Logic}. PhD thesis, Universitat de Barcelona, 2013.

[5] L. J. González and R. Jansana. A spectral-style duality for distributive posets. Order, 35:321--347, 2018.

[6] C. Hartonas and M. Dunn. Stone duality for lattices. Algebra Universalis, 37(3):391--401, 1997.

[7] G. Hartung. A topological representation of lattices. Algebra Universalis, 29(2):273--299, 1992.

[8] A. Moshier and P. Jipsen. Topological duality and lattice expansions, {I}: {A} topological construction of canonical extensions. Algebra Universalis, 71(2):109--126, 2014.

[9] H. A. Priestley. Representation of distributive lattices by means of ordered {Stone} spaces. Bull. London Math. Soc., 2(2):186--190, 1970.

[10] M. H. Stone. Topological representations of distributive lattices and {Brouwerian} logics. {Č}asopis pro p{\v{e}}stov{á}n{í} matematiky a fysiky, 67(1):1--25, 1937.

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Estructuralidad y Finitariedad de las lógicas definidas por operadores $M[T]$

Cristian Daniel Brunetta Gonzalez (Instituto en Ciencias Basicas (Area Matematica); UNSJ , cristian_brunetta@hotmail.com); Víctor Fernández (Instituto en Ciencias Basicas (Area Matematica); UNSJ , vlfernan@ffha.unsj.edu.ar)

En el ámbito de la Lógica Abstracta es usual estudiar lógicas (o, mas ge\-ne\-ral\-men\-te, operadores de clausura) obtenidas a partir de otras ya existentes. As{í} por ejemplo, dada una lógica $\mathcal{L}$ = $(A,\vdash)$ pueden obtenerse sus lógicas (con el mismo soporte $A$) inductivamente y proyectivamente generadas (ver [1] y [2]). Y también puede obtenerse una lógica finitaria $\mathcal{L}{'}$, determinada por $\mathcal{L}$ (ver [4]). Siguiendo estas ideas, en [3] se presentó un método para obtener lógicas nuevas mediante intersecciones, del siguiente modo: dada una lógica $\mathcal{L}$ con soporte $A$ y conjunto de teor{í}as $\mathcal{K}_{\mathcal{L}}$, $M[T]$:=$\{W \in A: W \cap T \in \mathcal{K}_{\mathcal{L}}\}$ (siendo $T \in \mathcal{K}_{\mathcal{L}}$, fijo). Esta definición extiende el concepto de lógicas relativas a todo el soporte $A$.

En esta comunicación se presentan nuevos resultados sobre los espacios $M[T]$, referidos a la preservación de finitariedad y estructuralidad (en relación a la lógica $\mathcal{L}$ original). Entre ellos, se mostrarán:

$\bullet$ La caracterización directa del operador $C_{M[T]}$ a partir del operador $C_{\mathcal{K}_{\mathcal{L}}}$.

$\bullet$ La preservación de finitariedad en $M[T]$ (en caso de que $\mathcal{K}_{\mathcal{L}}$ sea finitario).

Por otro lado, se mostrará que $M[T]$ en general no preserva estructuralidad. Al respecto, se darán diversas condiciones para que dicha propiedad pueda ser preservada de $\mathcal{K}_{\mathcal{L}}$ a $M[T]$.

Referencias

[1] Bloom, S. Projective and Inductive Generation of Abstract Logics. Studia Logica, 35: 249--255, 1976.

[2] Brown, D; Suszko, R. Abstract Logics. Dissertationes Mathematicae, 102: 9--41, 1973.

[3] Fernández, V; Brunetta, C. Lógicas Abstractas determinadas por Intersecciones y por Uniones. LXVI Reunión Anual de la UMA (en conjunto con la RSME). Buenos Aires, 2017.

[4] Font, J.M. Abstract Algebraic Logic. An Introductory Textbook. College Publications, London, 2016.

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Fórmulas sinónimas y categorías de lógicas invariantes por sustituciones

Francisco Vibrentis (Fac. Cs. Exactas; UNLP, francisco_vibrentis@hotmail.com); José Luis Castiglioni (Fac. Cs. Exactas; UNLP, jlc@mate.unlp.edu.ar)

Dada una categoría de lógicas, sus isomorfismos nos dan una forma de identificar lógicas y sus coproductos nos dan una forma de combinarlas (ver [Ser99]). El problema es cómo definir la categoría para que incluya la mayor cantidad de lógicas relevantes en el área, cuyos isomorfismos identifiquen las lógicas que usualmente se consideran equivalentes y que no identifique a las que usualmente se consideran diferentes, donde además existan coproductos finitos que nos den una manera efectiva de combinar lógicas.

En un trabajo anterior (ver [Vib19]), definimos una categoría que incluye gran cantidad de lógicas, incluso las no congruenciales, que otras propuestas no consideran. Esto resulta de interés ya que hay ejemplos relevantes, como las lógicas trivaluadas de Ł ukasiewicz, o algunas lógicas de la inconsistencia formal que no son congruenciales. El problema es que dadas dos lógicas invariantes por sustituciones, el coproducto en esta categoría no resulta invariante por sustituciones.

Dado que gran parte de las lógicas son invariantes por sustituciones, en este trabajo mejoramos la propuesta anterior definiendo una categoría cuyos objetos son lógicas tarskianas invariantes por sustituciones. Para esto cocientamos cierta categoría de lógicas por una relación inducida por la sinonimia entre fórmulas en el sentido de Smiley [Smi62]. Decimos que dos fórmulas $\alpha$ y $\beta$, con las mismas variables, son sinónimas si para cualquier fórmula $\phi(p_0,p_1,...,p_n)$, se tiene que $\phi(\alpha,p_1,...,p_n)$ y $\phi(\beta,p_1,...,p_n)$ son interdemostrables. En la charla presentaré la definición de esta categoría cociente y la construcción de ciertos coproductos finitos.

Referencias:

[Ser99] A. Sernadas, C. Sernadas, C. Caleiro. Fibring of logics as a categorial construction. Journal of Logic and Computation 9(2) (1999), 149-179.

[Smi62] T. Smiley. The independence of connectives. Journal of Symbolic Logic, 27, 426-436, (1962).

[Vib19] F. Vibrentis, J.L. Castiglioni. Interreplaceable metaformulas and categories of logics. Preprint (2019).

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La estructura twist de álgebras tipo-Nelson

Miguel Andrés Marcos (FIQ, CONICET - UNL, mmarcos@santafe-conicet.gov.ar)

Trabajo en conjunto con M. Busaniche.

La lógica constructiva con negación fuerte de Nelson (N3) fue introducida en [Nel] como una alternativa a la lógica intuicionista (ver [Odi]). A diferencia de ésta, la negación fuerte $\sim$ satisface que la demostrabilidad de una fórmula $\sim (\phi\wedge\psi)$ implica que $\sim\phi$ o $\sim\psi$ son demostrables en N3. La lógica paraconsistente de Nelson (N4) se introdujo en [AlmNel], omitiendo el axioma de explosión $\sim p\to (p\to q)$ de la lista de axiomas de N3.

Las álgebras de Nelson y los retículos N4 son los modelos algebraicos de N3 y N4, respectivamente. A su vez, los retículos residuados de Nelson son una variedad de retículos residuados equivalente por términos a las álgebras de Nelson, y lo mismo ocurre entre las variedades de retículos NPc y eN4, estos últimos la expansión de los retículos N4 por una constante $e$. De esta forma las lógicas N3 y N4 pueden ser estudiadas en el marco de las lógicas subestructurales (ver [BusCig1]).

Las álgebras de ambas variedades de retículos residuados pueden ser obtenidas como productos twist de álgebras de Heyting o álgebras de Heyting generalizadas, pero las subestructuras del producto twist full que las representan son distintas en cada caso.

Definimos la variedad de retículos residuados de álgebras de tipo-Nelson, que contiene tanto a los retículos residuados de Nelson como a los retículos NPc, y basándonos en [Sen], obtenemos un marco común para su representación como productos twist.

Bibliografía

[AlmNel] Almukdad, A., Nelson, D., {\itshape Constructible Falsity and Inexact Predicates}, J. Symb. Logic, 49 (1984), no. 1, 231--233.

[BusCig1] Busaniche, M., Cignoli, R., {\itshape Residuated lattices as an algebraic semantics for paraconsistent Nelson logic}, Journal of Logic and Computation, vol. 19 (2009), pp. 1019--1029.

[BusCig2] Busaniche, M., Cignoli, R., {\itshape Constructive logic with strong negation as a substructural logic}, Journal of Logic and Computation, vol. 20 (2010), pp. 761--793.tt

[Nel] Nelson, D., Constructible falsity, J. Symb. Logic, 14 (1949), 16--26.

[Odi] Odintsov, S. P., {\itshape On the embedding of Nelson's logics}, Bulletin of the Section of Logic, vol. 31 (2002), pp. 241--248.tt

[Sen] Sendlewski, A., Nelson algebras through Heyting ones. I, Stud. Log. 49(1990), 105--126.

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Medibilidad de las clases de bisimilitud en NLMP.

Martín Santiago Moroni (CIEM-FAMAF, msmoroni@gmail.com); Pedro Sánchez Terraf (CIEM-FAMAF, pedrost@gmail.com)

Dado un proceso de Markov etiquetado no determinista $(S, \Sigma, \{T_a \mid a\in L\})$, se sabe que cuando el espacio de estados $S$ es analítico y cada $T_a(s)$ es finito, la relación de bisimilitud es un conjunto Borel del producto $S \times S$ y en consecuencia las clases de bisimilitud también son Borel. Si bien Sánchez Terraf [Mathematical Structures in Computer Science 27 (7), 1265-1284] prueba que en procesos generales la relación de bisimilitud no es Borel, queda pendiente la misma pregunta pero para las clases de bisimilitud. En una primera instancia se prueba la medibilidad de tales conjuntos en el caso particular de los procesos no probabilistas, es decir, aquellos donde todas las transiciones son discretas.

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Modelos de Fidel para la lógica de primer orden $C_\omega$ de da Costa

Juan Sebastián Slagter (Departamento de Matemática, Universidad Nacional del Sur, juan_slagter@hotmail.com); Aldo Figallo Orellano (Departamento de Matemática, Universidad Nacional del Sur, Centro de lógica, Epistemologia e História da ciéncia (CLE), Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP), Brazil, aldofigallo@gmail.com)

Antonio Monteiro desarrolló varias técnicas para el estudio de sistemas algebraicos. Una de las mas importantes tal vez sea la caracterización de las congruencias por medio de los sistemas deductivos. La mayoría de las estructuras estudiadas tienen una estructura ordenada de retículos distribitivos. Posteriormente, Aldo Victorio Figallo adaptó estas técnicas a estructuras más generales tales como álgebras de Tasrski, de Ł ukasiwicz residuadas (fragmentos implicativos de un MV-álgebra), de Hilbert, de Hilbert $n$-valentes modales, de Hilbert con ínfimimo, etc. Todas estas estructuras fueron estudiadas por medio de la noción de sistemas deductivos.

Por otro lado, A. Monteiro estudió las congruencias maximales por medio de los sistemas deductivos ligados a un elemento, estas técnicas fueron usadas por él y otros autores en MV-álgebras, BL-álgebras, álgebras de Heyting, de Nelson, tetravalentes modales, de Hilbert, etc.

Es esta charla presentaremos una clase de álgebras (de Monteiro), que capturan los sistemas estudiados por Monteiro y Figallo. A cada álgebra de Monteiro se le puede definir una implicación primitiva o derivada de las operaciones del conjunto finito de funciones finitarias del lenguaje, donde la noción de sistema deductivo caracteriza las congruencias. Exhibiremos un cálculo estilo Hilbert de primer orden correcto y completo con respecto estas álgebras y una noción de teoría consistente, y veremos que las teorías maximales consistentes de Henkin cocientadas son los sistemas deductivos ligado a un elemento del álgebra de Lindenbaum-Tarski de primer orden. Lo que permitirá probar un teorema de adecuación fuerte usando resultados de álgebra universal. Nuestra presentación generaliza las de Rasiowa y Cintula-Noguera.

Presentaremos dos aplicaciones, la primera a ciertas lógicas no-algebrizables de la inconcistencia formal por medio de multiálgebras, que permitirá obtener una versión simplificada de la semántica y ver que el famoso axioma da Costa es un derivado del sistema (una tautológia). Luego, presentaremos por primera vez modelos para la lógica de da Costa $C_\omega$ de primer orden.

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Bibliografía

[CN] P. Cintula and C. Noguera, A Henkin-style proof of completeness for First-order algebraizable logics, Journal of Symbolic Logic 80, 341-358, 2015

[CFG19] M. E. Coniglio, A. Figallo-Orellano and A. C. Golzio, First-order swap structures semantics for some Logics of Formal Inconsistency, sometido 2019.

[dC] N. da Costa, On the theory of inconsistent formal systems, Notre Dame Journal of Formal Logic, vol. 15, 497510, 1974.

[MF] M. Fidel, The decidability of the calculi $C_n$, Reports on Mathematical Logic, 8:31--40, 1977.

[FS] A. Figallo Orellano and Juan S. Slagter, An algebraic study of the first order intuitionistic fragment of 3-valued Ł ukasiewicz logic, sometido 2018.

[FS1] Aldo Figallo-Orellano and Juan S. Slagter, Algebraic Monteiro's notion of maximal consistent theory for tarskian logics, sometido 2019.

[RA] H. Rasiowa, An algebraic approach to non-classical logics, Studies in logic and the foundations of mathematics, vol. 78. North-Holland Publishing Company, Amsterdam and London, and American Elsevier Publishing Company, Inc., New York, 1974.

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MV-álgebras Pseudomonádicas y marcos de Kripke \L$_n$-valuados

Penélope Cordero (IMAL (CONICET-UNL), pcordero@santafe-conicet.gov.ar); Manuela Busaniche (FIQ (UNL); IMAL (CONICET-UNL), mbusaniche@santafe-conicet.gov.ar); Ricardo Oscar Rodriguez (FCEyN (UBA); ICC (CONICET-UBA), ricardo@dc.uba.ar)

En [2], adoptamos un enfoque algebraico para estudiar la lógica modal difusa KD45 de Hájek [4], definiendo la variedad $\mathbb{PBL}$ de BL-álgebras Pseudomonádicas (PBL-álgebras) como BL-álgebras dotadas con dos operadores unarios $\forall$ y $\exists$. Establecemos una conexión entre dicha clase de álgebras y la semántica simplificada de Kripke, demostrando que toda complex álgebra asociada a un modelo posibilístico normalizado es una PBL-álgebra. En particular, en esta charla consideraremos la subvariedad de $\mathbb{PBL}$ determinada por la clase de MV-álgebras [3], cuyos elementos denominamos MV-álgebras Pseudomonádicas.

Teniendo en cuenta la MV-cadena finita Ł$_n$, en [1], los autores presentan una axiomatización para la lógica modal minimal dada por la clase de todos los marcos de Kripke Ł$_n$-valuados. A partir de estos resultados, presentamos una extensión de dicha axiomatización análogo al sistema KD45 y demostramos que la semántica algebraica dada por una cuasi-subvariedad de MV-álgebras Pseudomonádicas es equivalente a la semántica de relacional de Kripke para dicho sistema.

ŁargeReferencias

\setlength{\parindent}{0pt}[1] {F. Bou, F. Esteva, L. Godo, R. O. Rodriguez}. On the minimum many-valued modal logic over a finite residuated lattice. J. Logic Comput., 21(5):739-790, 2011.

[2] {M. Busaniche, P. Cordero, R. O. Rodriguez}. Pseudomonadic BL-algebras: an algebraic approach to possibilistic BL-logic. Soft Computing, 23(7):2199-2212, 2019.

[3] {R. Cignoli, M. L. D'Ottaviano, D. Mundici}. Algebraic foundations of many-valued reasoning, volume 7 of Trends in Logic-Studia Logica Library. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 2000.

[4] {P. Hájek}. Metamathematics of fuzzy logic, volume 4 of Trends in Logic-Studia Logica Library. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1998.

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Posets asociativos

Alejandro Petrovich (Universidad de Buenos Aires, apetrov@dm.uba.ar); Pedro Sánchez Terraf (Universidad Nacional de Córdoba --- CIEM-FaMAF, sterraf@famaf.unc.edu.ar)

Para todo poset $\mathbf{P}:=\langle P, \leq\rangle$ existe un producto $\cdot$ tal que se da la equivalencia \[ a \leq b \iff a \cdot b = a. \]

Un ejemplo canónico es el de los semiretículos inferiores $\mathbf{P}$, para los cuales se puede elegir $\cdot$ de manera que sea conmutativo y asociativo.

Un poset es asociativo si admite una tal operación que sea asociativa. El problema general de la clasificación de los posets asociativos no es trivial, lo que es atestiguado por algunos de los resultados parciales que presentaremos:

Teorema 1. La clase de los posets asociativos, en el lenguaje $\{\leq\}$ no es de primer orden (aunque sí es cerrada por ultraproductos).

Un árbol de tres niveles es un poset $T$ con máximo $1$ tal que hay subconjuntos disjuntos no vacíos $C$ y $M_c$ ($c\in C$) que cumplen

• $T = \{1\} \sqcup C \sqcup \bigcup_{c\in C} M_c$.
• $\nexists c, z.\ c\in C \land c< z< 1$,
• $M_c$ es una anticadena bajo $c$.

Se sigue que $C$ son “coátomos” de $T$ y $M_c$ consiste de elementos minimales para cada $c\in C$.

Teorema 2. Son equivalentes:

• Todo árbol de tres niveles es asociativo.
• El Axioma de Elección.

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Superfluidad en el Segundo Nivel de la Jerarquía Polinomial

Edwin Pin (Universidad de Buenos Aires, epin@dc.uba.ar); Nerio Borges (Yachay Tech, nborges@yachaytech.edu.ec)

En [1] se muestran varias técnicas para probar completitud en distintas clases de complejidad, todas de carácter sintáctico. Una de las técnicas, denominada superfluidad, se demostró válida en las clases NL, P, NP y coNP. Este método se basa en el estudio de conjunciones de la forma $(\varphi \wedge \Phi)$, donde $\varphi$ es una sentencia universal de primer orden y $\Phi$ es una fórmula sobre una lógica $\mathcal{L}$ que captura a una clase de complejidad C. Si $\mathcal{L}$ y C satisfacen ciertas propiedades, entonces la C-completitud del problema asociado a la fórmula $(\varphi \wedge \Phi)$ implica la C-completitud del problema asociado a $\Phi$.

Se ha probado que esta técnica es aplicable en el segundo nivel de la jerarquía polinomial, clase de complejidad denotada por $\Sigma_2^p$. Para ello fue necesario usar un problema natural en dicha clase que, además de ser completo, satisfaciera condiciones de uniformidad.

Se expondrán varios de los conceptos y teoremas probados en [1], así como los resultados obtenidos para la clase $\Sigma_2^p$ [2].

Bibliografía

[1] N. Borges, B. Bonet. Universal First Order Logic is superuous with respect to NL, P, NP and coNP. Logical Methods in Computer Science. Vol 10. (1:15) 2014 pp. 1-16.

[2] Borges, N., Pin, E. (2019). Universal first-order logic is superfluous in the second level of the polynomial-time hierarchy. Logic Journal of the IGPL.

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Tense Nelson algebras

Aldo Victorio Figallo (Instituto de Ciencias Básicas - Universidad Nacional de San Juan, avfigallo@gmail.com); Gustavo Pelaitay (Instituto de Ciencias Básicas - Universidad Nacional de San Juan, gpelaitay@gmail.com); Jonathan Matias Sarmiento (Departamento de Matemática - Universidad Nacional del sur; ICB - Universidad Nacional de San Juan, jonathan.matias.sarmiento@gmail.com)

{In [4], we introduce the variety of tense Nelson algebras as a structure $(\mathcal{A},G,H)$ where $\mathcal{A}=\langle A, \vee, \wedge, \to, \sim,0,1 \rangle$ is a Nelson algebra and $G,H$ are two unary operators on $A$ which satisfy the following properties:

• \rm (T1)} $G(1)=1$, $H(1)=1$,
• \rm (T2)} $G(x\wedge y)=G(x)\wedge G(y)$, $H(x\wedge y)=H(x)\wedge H(y)$,
• \rm (T3)} $x\leq GP(x)$, $x\leq HF(x)$,
• \rm (T4)} $G(x\to y)\leq G(x)\to G(y)$, $H(x\to y)\leq H(x)\to H(y)$,
• \rm (T5)} $G(x\to y)\leq F(x)\to F(y)$, $H(x\to y)\leq P(x)\to P(y)$,
• where $P(x)=\sim H(\sim x)$ and $F(x)=\sim G(\sim x),$

In this paper we show the relationship between IKt-algebras [1,2,3] and tense Nelson algebras. Using it, we characterize the lattice of congruences of tense Nelson algebras through some of its deductive systems. Also we use this to find the subdirectly irreducible tense Nelson algebras and particularly the simple tense Nelson algebras. Finally, we extend the Vakarelov's construction for Nelson algebras [5] to the case of tense Nelson algebras. In addition we give some examples of this construction.}

Bibliografía

[1] Figallo, A. V. and Pelaitay, G., An algebraic axiomatization of the Ewald's intuitionistic tense logic. Soft Comput. 18, (2014), no. 10, 1873-1883.

[2] Figallo, Aldo V.; Pascual, Inés; Pelaitay, Gustavo. Subdirectly irreducible IKt-algebras. Studia Logica 105 (2017), no. 4, 673--701.

[3] Figallo, Aldo V.; Pascual, Inés; Pelaitay, Gustavo. Principal and Boolean congruences on IKt-algebras. Studia Logica 106 (2018), no. 4, 857--882.

[4] A. V. Figallo, G. Pelaitay, J. Sarmiento, An algebraic study of tense operators on Nelson algebras, XV Congreso Dr. Antonio Monteirio, Bahía Blanca, 2019.

[5] Vakarelov, D. Notes on N-lattices and constructive logic with strong negation. Stud. Logica. 36(1–2), 109–125 (1977).

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Teoremas de completitud de lógicas monádicas vía álgebras funcionales

Diego Castaño (Depto. de Matemática (UNS) - INMABB (UNS-CONICET), diego.castano@uns.edu.ar); Patricio Díaz Varela (Depto. de Matemática (UNS) - INMABB (UNS-CONICET), usdiavar@criba.edu.ar); Cecilia Rossana Cimadamore (Depto. de Matemática (UNS) - INMABB (UNS-CONICET), crcima@criba.edu.ar); Laura Rueda (Depto. de Matemática (UNS) - INMABB (UNS-CONICET), larueda@criba.edu.ar)

En [Hajek98] Hájek definió en forma semántica la lógica modal $S5(\mathcal{C})$ sobre la base de una extensión axiomática $\mathcal{C}$ de la lógica básica $\mathcal{BL}$. Dicha lógica $S5(\mathcal{C})$ es equivalente al fragmento monádico en una variable de la lógica $\mathcal{C}\forall$ (la extensión de primer orden de $\mathcal{C}$). Asimismo Hájek propuso un cálculo sintáctico estilo Hilbert para esta lógica. Buscamos probar los teoremas de completitud correspondientes utilizando herramientas algebraicas.

Para ello definimos en [CCDVR17] una clase de álgebras que denominamos BL-álgebras monádicas. Una clase especial de BL-álgebras monádicas la constituyen aquellas que provienen de modelos en los que se interpreta la lógica $S5(\mathcal{C})$. Dichas álgebras especiales son las BL-álgebras funcionales.

En esta charla mostraremos que los teoremas de completitud que buscamos resultan de probar que las variedades correspondientes están generadas, como cuasivariedad, por sus álgebras funcionales. Veremos también dos casos particulares: el caso Ł ukasiewicz y el caso Gödel. Probaremos en ambos casos que las variedades están generadas por sus álgebras funcionales. En el caso Ł ukasiewicz esto ya era conocido (ver [Rutledge59]), pero daremos una demostración alternativa mucho más sencilla que la original. En el caso Gödel veremos que la finite embeddability property reduce lo que tenemos que probar al caso finito.

Bibliografía

[CCDVR17] Castaño, D. and Cimadamore, C. and Díaz Varela, J. P. and Rueda, L., Monadic BL-algebras: The equivalent algebraic semantics of Hájek's monadic fuzzy logic, Fuzzy Sets and Systems. An International Journal in Information Science and Engineering, 320 (2017), 40--59.

[Hajek98] P. Hájek, Metamathematics of fuzzy logic, Trends in Logic - Studia Logica Library, 4. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1998, viii+297 pp.

[Rutledge59] J. D. Rutledge, A preliminary investigation of the intinitely-many-valued predicate calculus, Ph.D. Thesis, Cornell University, 1959, 112 pp.

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Valuaciones no Homomórficas y Decidibilidad en la Lógica $C_1$

Verónica Quiroga (Instituto en Ciencias Básicas, Área Matemática - Universidad Nacional de San Juan, veronicaquiroga@gmail.com); Víctor Fernández (Instituto en Ciencias Básicas, Área Matemática - Universidad Nacional de San Juan, vlfernan@ffha.unsj.edu.ar)

{La primera demostración de decidibilidad de las lógicas paraconsistentes $C_n$ de da Costa (con $1 \leq n \leq \omega$) se dio por M. Fidel en [3], mediante la definición de las hoy llamadas $F$-estructuras. En dicho trabajo se demostró también la completitud de la relación sintáctica $\vdash_{C_n}$ con respecto a la relación $\models_{\mathcal{F}_n}$, determinada por $F_n$-estructuras.

Sin embargo, la definición original dada por Fidel es relativamente poco operativa en l{í}neas generales. A fin de paliar esta desventaja, se pudo obtener en [4] una caracterización más simple de las $F$-estructuras para la lógica $C_1$ (o $F_1$-estructuras).

Esta comunicación mostrará el modo en que, a partir de la nueva caracterización, las demostraciones dadas en [3] se tornan mucho más sencillas: esto es debido no solo a la simplificación de la noción de $F_1$-estructuras sino, también, al modo en que se interpreta cada fórmula por medio de valuaciones no homomórficas, como se verá. Además, se probará que estas valuaciones abarcan también otro tipo de funciones, tales como las bivaluaciones de Alves y da Costa intr{í}nsecas a la semántica de casi-matrices (ver [1]), y las valuaciones homomórficas booleanas. Por último, se mostrará la relación entre estas valuaciones con las definiciones alternativas a las $F_1$-valuaciones sugeridas en [2].

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Referencias

[1] Alves, E; da Costa, N. A Semantical Analysis of the Calculi $C_n$. Notre Dame Journal of Formal Logic, 18: 621--630, 1977.

[2] Carnielli, W; Coniglio, M. Paraconsistent Logic: Consistency, Contradiction and Negation. Springer, 2016.

[3] Fidel, M. The Decidability of the Calculi $C_n$. Reports on Mathematical Logic, 8: 31--40, 1977.

[4] Quiroga, V. An Alternative Definition of $F$-Structures for the Logic $C_1$. Bulletin of the Section of Logic, 42: 119--134, 2013.

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