La K-teoría algebraica es una rama del álgebra que generaliza resultados y construcciones del álgebra lineal considerando módulos sobre un anillo, en lugar de un cuerpo. Está relacionada con varias áreas de la matemática, como la geometría, la topología y la teoría de números. Esta teoría asocia a cada anillo R una sucesión de grupos abelianos Kn(R). En este curso definiremos y estudiaremos las propiedades básicas de los grupos K0(R) y K1(R): funtorialidad, Morita invarianza, comportamiento ante el producto cartesiano, escisión. Presentaremos además una sucesión exacta que relaciona ambos grupos.

Cada vez que un mensaje se transmite a través de un canal, puede sufrir errores debido a interferencias o fallas técnicas. La teoría de códigos provee herramientas matemáticas para detectar y corregir estos errores, asegurando la integridad de la información. Un problema análogo surge cuando se necesita almacenar grandes volúmenes de datos de manera segura, permitiendo su recuperación incluso ante pérdidas parciales.
En este curso breve introduciremos el concepto de códigos localmente recuperables (LRC), que permiten reconstruir partes de la información accediendo solo a una pequeña porción del total.
Presentaremos construcciones básicas utilizando herramientas de álgebra lineal y combinatoria. Si el tiempo lo permite, exploraremos también ideas más avanzadas que emplean teoría de números y geometría algebraica para construir códigos con propiedades mejoradas.

Este curso ofrece una introducción intensiva y condensada al control geométrico no-lineal, con un enfoque moderno y aplicado. A lo largo de tres sesiones, se exploran los principios fundamentales de controlabilidad, observabilidad y planificación de trayectorias, extendidos a contextos geométricos avanzados como los grupos de Lie y las variedades Riemannianas. Se discutirán herramientas clave para el modelado y análisis de sistemas no lineales, incluyendo mecánica Lagrangiana, teoría de perturbaciones singulares y control basado en Lyapunov. El curso incorpora además una serie de aplicaciones actuales en el ámbito de la robótica aérea, con especial énfasis en el control de drones y sistemas cooperativos, proporcionando una visión práctica del uso de estos conceptos en problemas reales.

Elias M. Stein introduced in 1976 the spherical maximal function, and proved its Lp(Rd) boundedness for d ≥ 3 using Fourier transform techniques. Since then, the study of maximal functions associated to dilates of manifolds of Rd has become a central topic in Harmonic Analysis. In this course, we will see how the recent developments in Fourier restriction theory have helped towards the understanding of such singular maximal functions.

Cluster analysis is often approached solely from an empirical perspective, with the aim of identifying homogeneous subgroups within a cloud of data points. However, such a cloud typically represents a sample drawn from an underlying probability distribution, which enables the problem to be situated within the framework of statistical inference and opens the door to a rigorous theoretical analysis. By adopting a population-based viewpoint, we can formulate the ideal objective of cluster analysis as the identification of a partition of the sample space. This objective depends crucially on how similarity between clusters is defined, leading to a variety of clustering methodologies. In this seminar, we will review the foundational approaches to clustering from this probabilistic perspective, discuss open problems, and highlight unexpected connections with other areas of Mathematics, such as computational geometry, stochastic geometry, and differential topology.