Cursos

Introducción al Cálculo de Variaciones Sonia Acinas Universidad Nacional de La Pampa

Resumen: El Calculo de Variaciones tiene algo más de 200 años y debe a Euler su status de rama coherente del análisis. Sus técnicas son aplicables a una amplia gama de problemas tanto de matemática pura como de física matemática. Frente a los interrogantes de las infinitas curvas que unen dos puntos del plano, ¿cuál es la que tiene menor longitud?; de todas las curvas cerradas de longitud fija L, ¿cuál delimita un área máxima?; es muy probable que sepamos la respuesta o podamos intuirla. Pero, si nos preguntamos ¿qué curva genera por rotación en torno al eje x la superficie de revolución de área mínima?, quizás la respuesta no sea tan evidente. En los cursos de cálculo nos hemos familiarizado con el problema de hallar los puntos en los cuales una función alcanza sus valores extremos. Por su parte, en el Calculo de Variaciones se consideran otras magnitudes (como la longitud de arco o el área) que dependen de la curva como un todo y se pretende encontrar la curva que hace mínima o máxima la magnitud en cuestión. En este curso, veremos algunos métodos de resolución de problemas variacionales, tomando como punto de partida conceptos y técnicas que empleamos para hallar extremos de funciones. El tratamiento de los temas será alcanzable por quienes hayan cursado cálculo de una y varias variables y ecuaciones diferenciales ordinarias. Y, no nos preocuparemos demasiado por el rigor matemático a fin de llegar a las aplicaciones relevantes lo antes posible. ––>

Teorema de Perron-Frobenius Cristian Conde Universidad Nacional de General Sarmiento

Resumen: En álgebra lineal, el Teorema de Perron-Frobenius, probado por Oskar Perron (1907) y Georg Frobenius (1912), afirma que una matriz cuadrada real con entradas positivas tiene un valor propio real único más grande y que se puede elegir que el vector propio correspondiente tenga estrictamente componentes positivos, y también afirma una declaración similar para ciertas clases de matrices no negativas. Este teorema tiene importantes aplicaciones a diversas áreas de la Matemática: cadenas de Markov, sistemas dinámicos, demografía, búsqueda de Internet, etc. En el curso presentaremos las pruebas de dicho resultado y algunas aplicaciones.

Una breve introducción a los grupos cuánticos Gaston Andrés García Universidad Nacional de La Plata

Resumen: ¡El orden de los factoras SI altera el producto! Hasta el día de hoy no existe una definición axiomática general de grupo cuántico, así que se suele trabajar sobre ejemplos pre-establecidos. En pocas palabras, los grupos cuánticos son álgebras no conmutativas que se corresponden a deformaciones de objetos algebraicos clásicos asociados a objetos geométricos que describen simetrías (por ejemplo, álgebras de funciones sobre un grupo compacto, o un grupo algebraico). Sus aplicaciones aparecen naturalmente en diversas situaciones como representaciones de los mismos, es decir, en realizaciones como ciertas álgebras de matrices. Por sus características, estas representaciones poseen muchas simetrías y por lo tanto se pueden encontrar tanto en áreas de matemática como de física teórica: por ejemplo, álgebra no conmutativa, teoría de operadores, K-teoria, teoría de nudos, topología en dimensiones bajas, categorificación, teoría geométrica de representaciones, teoría topológica conforme de campos, mecánica estadística, teoría de deformaciones por cuantizaciones, y más recientemente en computación cuántica. En este curso veremos definiciones básicas y algunos resultados relevantes, siempre orientados a posibles aplicaciones y apoyándonos en ejemplos concretos.

¿Se puede oír la forma de un tambor? Emilio Lauret Universidad Nacional del Sur

Resumen: El espectro del operador de Laplace asociado a un objeto geométrico compacto (e.g. un dominio acotado en el espacio euclídeo) codifica el sonido que éste haría al ser golpeado. Pensando a un dominio acotado del plano como un tambor, Mark Kac escribió en 1966 el artículo "Can one hear the shape of a drum?" que popularizó la geometría espectral inversa, área que estudia en qué medida la información espectral (i.e. el sonido que produce el tambor) determina la geometría (i.e. la forma del tambor). La intención de este mini curso es discutir problemas clásicos dentro de la geometría espectral inversa, especialmente la construcción de objetos isospectrales (i.e. sus Laplacianos tienen el mismo espectro) en el contexto de las variedades Riemannianas compactas sin borde. Haremos énfasis en variedades Riemannianas sencillas tales como los toros planos y cocientes de la esfera unitaria. El curso está destinado a un público amplio, sin necesidad de tener conocimientos previos en ecuaciones diferenciales ni geometría Riemanniana.

Métodos algebraicos en redes bioquímicas Mercedes Pérez Millán Universidad de Buenos Aires

Resumen: Una red bioquímica modelada con cinética de acción de masas da lugar a un sistema dinámico polinomial dx/dt = f(x). En este curso abordaremos, por medio de métodos algebraicos y con software apropiado, algunos problemas que surgen al estudiar estas ecuaciones. Presentaremos las nociones básicas sobre estas redes, ejemplos y características principales. Luego nos centraremos en el estudio de sus estados estacionarios (las soluciones no negativas del sistema polinomial f(x) = 0), invariantes algebraicos en el equilibrio y multiestacionariedad. Por último veremos técnicas para identificar cada uno de los parámetros del sistema dinámico (las constantes de reacción) a partir de un conjunto reducido de variables (especies químicas). En esta ocasión utilizaremos un servidor de Jupyter Notebook con cuadernos de código. No se necesita tener conocimientos de programación ni de Python, sólo haber tomado un curso básico de Álgebra Lineal.

Introducción al Cálculo Fraccionario. Integrales y derivadas de órdenes arbitrarios Sabrina Roscani Universidad Austral

Resumen: En este curso se presentarán los conceptos de integrales y derivadas de orden arbitrario, como herramientas básicas del Cálculo Fraccionario. Se trabajará con integrales y derivadas fraccionarias de Riemann-Liouville, así también como con derivadas de Caputo. Se estudiarán diferentes propiedades de estos operadores con el objetivo final de presentar algunas ecuaciones diferenciales fraccionarias ordinarias como posibles herramientas de modelización.